Minorer une intégrale d'une fonction usuelle à l'aide d'une comparaison avec une autre fonction Exercice

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Dernière modification : 12/05/2025 - Conforme au programme 2025-2026

Sachant que pour x \in \left[ - \frac{\pi}{2}; 0 \right] , on a :
\sin{\left(x \right)} \geq x

Que peut-on dire de \int_{- \frac{\pi}{2}}^{0} \sin{\left(x \right)} \, \mathrm{d}x ?

\int_{- \frac{\pi}{2}}^{0} \sin{\left(x \right)} \, \mathrm{d}x \geq − \frac{\pi^{2}}{8}

\int_{- \frac{\pi}{2}}^{0} \sin{\left(x \right)} \, \mathrm{d}x \geq − \frac{\pi^{2}}{4}

\int_{- \frac{\pi}{2}}^{0} \sin{\left(x \right)} \, \mathrm{d}x \geq \frac{\pi^{2}}{8}

\int_{- \frac{\pi}{2}}^{0} \sin{\left(x \right)} \, \mathrm{d}x \geq 1 − \frac{\pi^{2}}{8}

Le passage à l'intégrale conserve les inégalités.

Comme pour x \in \left[ - \frac{\pi}{2}; 0 \right] , on a :
\sin{\left(x \right)} \geq x

On peut passer à l'intégrale :
\int_{- \frac{\pi}{2}}^{0} \sin{\left(x \right)} \, \mathrm{d}x \geq \int_{- \frac{\pi}{2}}^{0} x \, \mathrm{d}x

Et :
\int_{- \frac{\pi}{2}}^{0} x \, \mathrm{d}x = \left[ \frac{x^{2}}{2} \right]_{- \frac{\pi}{2}}^{0}
\int_{- \frac{\pi}{2}}^{0} \left( x \right) \, \mathrm{d}x = \left(0\right)-\left(\frac{\pi^{2}}{8}\right)
\int_{- \frac{\pi}{2}}^{0} x \, \mathrm{d}x = - \frac{\pi^{2}}{8}

Donc \int_{- \frac{\pi}{2}}^{0} \sin{\left(x \right)} \, \mathrm{d}x \geq - \frac{\pi^{2}}{8} .

Sachant que pour x \in \left[ 0; 2 \right] , on a :
e^{x} \geq x + 1

Que peut-on dire de \int_{0}^{2} e^{x} \, \mathrm{d}x ?

\int_{0}^{2} e^{x} \, \mathrm{d}x \geq 4

\int_{0}^{2} e^{x} \, \mathrm{d}x \geq 8

\int_{0}^{2} e^{x} \, \mathrm{d}x \geq −4

\int_{0}^{2} e^{x} \, \mathrm{d}x \geq 5

Le passage à l'intégrale conserve les inégalités.

Comme pour x \in \left[ 0; 2 \right] , on a :
e^{x} \geq x + 1

On peut passer à l'intégrale :
\int_{0}^{2} e^{x} \, \mathrm{d}x \geq \int_{0}^{2} x + 1 \, \mathrm{d}x

Et :
\int_{0}^{2} x + 1 \, \mathrm{d}x = \left[ \frac{x^{2}}{2} + x \right]_{0}^{2}
\int_{0}^{2} \left( x + 1 \right) \, \mathrm{d}x = \left(4\right)-\left(0\right)
\int_{0}^{2} x + 1 \, \mathrm{d}x = 4

Donc \int_{0}^{2} e^{x} \, \mathrm{d}x \geq 4 .

Sachant que pour x \in \left[ 0; 1 \right] , on a :
e^{x} \geq \frac{x^{2}}{2} + x + 1

Que peut-on dire de \int_{0}^{1} e^{x} \, \mathrm{d}x ?

\int_{0}^{1} e^{x} \, \mathrm{d}x \geq \frac{5}{3}

\int_{0}^{1} e^{x} \, \mathrm{d}x \geq \frac{10}{3}

\int_{0}^{1} e^{x} \, \mathrm{d}x \geq − \frac{5}{3}

\int_{0}^{1} e^{x} \, \mathrm{d}x \geq \frac{8}{3}

Le passage à l'intégrale conserve les inégalités.

Comme pour x \in \left[ 0; 1 \right] , on a :
e^{x} \geq \frac{x^{2}}{2} + x + 1

On peut passer à l'intégrale :
\int_{0}^{1} e^{x} \, \mathrm{d}x \geq \int_{0}^{1} \frac{x^{2}}{2} + x + 1 \, \mathrm{d}x

Et :
\int_{0}^{1} \frac{x^{2}}{2} + x + 1 \, \mathrm{d}x = \left[ \frac{x^{3}}{6} + \frac{x^{2}}{2} + x \right]_{0}^{1}
\int_{0}^{1} \left( \frac{x^{2}}{2} + x + 1 \right) \, \mathrm{d}x = \left(\frac{5}{3}\right)-\left(0\right)
\int_{0}^{1} \frac{x^{2}}{2} + x + 1 \, \mathrm{d}x = \frac{5}{3}

Donc \int_{0}^{1} e^{x} \, \mathrm{d}x \geq \frac{5}{3} .

Sachant que pour x \in \left[ 0; \frac{\pi}{2} \right] , on a :
\sin{\left(x \right)} \geq \frac{2 x}{\pi}

Que peut-on dire de \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \sin{\left(x \right)} \, \mathrm{d}x ?

\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \sin{\left(x \right)} \, \mathrm{d}x \geq \frac{\pi}{4}

\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \sin{\left(x \right)} \, \mathrm{d}x \geq \frac{\pi}{2}

\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \sin{\left(x \right)} \, \mathrm{d}x \geq − \frac{\pi}{4}

\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \sin{\left(x \right)} \, \mathrm{d}x \geq \frac{\pi}{4} + 1

Le passage à l'intégrale conserve les inégalités.

Comme pour x \in \left[ 0; \frac{\pi}{2} \right] , on a :
\sin{\left(x \right)} \geq \frac{2 x}{\pi}

On peut passer à l'intégrale :
\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \sin{\left(x \right)} \, \mathrm{d}x \geq \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \frac{2 x}{\pi} \, \mathrm{d}x

Et :
\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \frac{2 x}{\pi} \, \mathrm{d}x = \left[ \frac{x^{2}}{\pi} \right]_{0}^{\frac{\pi}{2}}
\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \left( \frac{2 x}{\pi} \right) \, \mathrm{d}x = \left(\frac{\pi}{4}\right)-\left(0\right)
\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \frac{2 x}{\pi} \, \mathrm{d}x = \frac{\pi}{4}

Donc \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \sin{\left(x \right)} \, \mathrm{d}x \geq \frac{\pi}{4} .

Sachant que pour x \in \left[ - \frac{\pi}{2}; 0 \right] , on a :
\sin{\left(x \right)} \geq - \frac{x^{3}}{12} + x

Que peut-on dire de \int_{- \frac{\pi}{2}}^{0} \sin{\left(x \right)} \, \mathrm{d}x ?

\int_{- \frac{\pi}{2}}^{0} \sin{\left(x \right)} \, \mathrm{d}x \geq − \frac{\pi^{2}}{8} + \frac{\pi^{4}}{768}

\int_{- \frac{\pi}{2}}^{0} \sin{\left(x \right)} \, \mathrm{d}x \geq − \frac{\pi^{2}}{4} + \frac{\pi^{4}}{384}

\int_{- \frac{\pi}{2}}^{0} \sin{\left(x \right)} \, \mathrm{d}x \geq − \frac{\pi^{4}}{768} + \frac{\pi^{2}}{8}

\int_{- \frac{\pi}{2}}^{0} \sin{\left(x \right)} \, \mathrm{d}x \geq − \frac{\pi^{2}}{8} + \frac{\pi^{4}}{768} + 1

Le passage à l'intégrale conserve les inégalités.

Comme pour x \in \left[ - \frac{\pi}{2}; 0 \right] , on a :
\sin{\left(x \right)} \geq - \frac{x^{3}}{12} + x

On peut passer à l'intégrale :
\int_{- \frac{\pi}{2}}^{0} \sin{\left(x \right)} \, \mathrm{d}x \geq \int_{- \frac{\pi}{2}}^{0} - \frac{x^{3}}{12} + x \, \mathrm{d}x

Et :
\int_{- \frac{\pi}{2}}^{0} - \frac{x^{3}}{12} + x \, \mathrm{d}x = \left[ - \frac{x^{4}}{48} + \frac{x^{2}}{2} \right]_{- \frac{\pi}{2}}^{0}
\int_{- \frac{\pi}{2}}^{0} \left( - \frac{x^{3}}{12} + x \right) \, \mathrm{d}x = \left(0\right)-\left(- \frac{\pi^{4}}{768} + \frac{\pi^{2}}{8}\right)
\int_{- \frac{\pi}{2}}^{0} - \frac{x^{3}}{12} + x \, \mathrm{d}x = - \frac{\pi^{2}}{8} + \frac{\pi^{4}}{768}

Donc \int_{- \frac{\pi}{2}}^{0} \sin{\left(x \right)} \, \mathrm{d}x \geq - \frac{\pi^{2}}{8} + \frac{\pi^{4}}{768} .