Que vaut l'intégrale \int_{2}^{3} \left( 2 e^x + 1 \right) \,dx + \int_{3}^{4} \left( 2 e^x + 1 \right) \,dx ?
On peut simplifier cette expression à l'aide de la relation de Chasles.
En effet, pour une fonction f continue sur un intervalle [a;b] , pour c \in [a;b] , on a :
\int_{a}^{c} f(x) \,dx + \int_{c}^{b} f(x) \,dx = \int_{a}^{b} f(x) \,dx
On a donc :
\int_{2}^{3} \left( 2 e^x + 1 \right) \,dx + \int_{3}^{4} \left( 2 e^x + 1 \right) \,dx = \int_{2}^{4} \left( 2 e^x + 1 \right) \,dx
On détermine une primitive sur \mathbb{R} de :
f:x\longmapsto (2e^x+1)
Il s'agit d'une composition de fonctions dont une primitive sur \mathbb{R} est :
F:x\longmapsto 2 e^x + x
\int_{2}^{4} \left( 2 e^x + 1 \right) \,dx = \left[ 2e^x + x \right]_{2}^{4}
\int_{2}^{4} \left( 2e^x+ 1 \right) \ \mathrm dx=\left( 2e^{4}+4 \right)-\left( 2e^{2}+2 \right)
\int_{2}^{4} \left( 2 e^x + 1 \right) \,dx = 2e^4-2e^2+2
Finalement, \int_{2}^{3} \left( 2 e^x + 1 \right) \,dx + \int_{3}^{4} \left( 2 e^x + 1 \right) \,dx = 2e^4-2e^2+2 .
Que vaut l'intégrale \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \left( \cos{\left(3 x \right)} \right) \,dx + \int_{\frac{\pi}{2}}^{\pi} \left( \cos{\left(3 x \right)} \right) \,dx ?
On peut simplifier cette expression à l'aide de la relation de Chasles.
En effet pour une fonction f continue sur un intervalle [a;b] , pour c \in [a;b] , on a :
\int_{a}^{c} f(x) \,dx + \int_{c}^{b} f(x) \,dx = \int_{a}^{b} f(x) \,dx
On a donc :
\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \left( \cos{\left(3 x \right)} \right) \,dx + \int_{\frac{\pi}{2}}^{\pi} \left( \cos{\left(3 x \right)} \right) \,dx = \int_{0}^{\pi} \left( \cos{\left(3 x \right)} \right) \,dx
On détermine une primitive sur \mathbb{R} de :
f:x\longmapsto \cos(3x)
Il s'agit d'une composition de fonctions dont une primitive sur \mathbb{R} est :
F : x\longmapsto \frac{\sin{\left(3 x \right)}}{3}
\int_{0}^{\pi} \left( \cos{\left(3 x \right)} \right) \,dx = \left[ \frac{\sin{\left(3 x \right)}}{3} \right]_{0}^{\pi}
\int_{0}^{\pi} \left( \cos{\left(3 x \right)} \right) \,dx = \dfrac{\sin\left(3\pi\right)}{3}-\dfrac{\sin\left(0\right)}{3}=0
Finalement, \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \left( \cos{\left(3 x \right)} \right) \,dx + \int_{\frac{\pi}{2}}^{\pi} \left( \cos{\left(3 x \right)} \right) \,dx = 0 .
Que vaut l'intégrale \int_{0}^{1} \left( \left(x - 4\right)^{2} \right) \,dx + \int_{1}^{2} \left( \left(x - 4\right)^{2} \right) \,dx ?
On peut simplifier cette expression à l'aide de la relation de Chasles.
En effet, pour une fonction f continue sur un intervalle [a;b] , pour c \in [a;b] , on a :
\int_{a}^{c} f(x) \,dx + \int_{c}^{b} f(x) \,dx = \int_{a}^{b} f(x) \,dx
On a donc :
\int_{0}^{1} \left( \left(x - 4\right)^{2} \right) \,dx + \int_{1}^{2} \left( \left(x - 4\right)^{2} \right) \,dx = \int_{0}^{2} \left( \left(x - 4\right)^{2} \right) \,dx
On détermine une primitive sur \mathbb{R} de :
f:x\longmapsto (x-4)^{2}
Il s'agit d'une composition de fonctions dont une primitive sur \mathbb{R} est :
F: x \longmapsto\dfrac{1}{3}(x-4)^3
\int_{0}^{2} \left( \left(x - 4\right)^{2} \right) \,dx = \left[ \frac{1}{3}(x-4)^3 \right]_{0}^{2}
\int_{0}^{2} \left( \left(x - 4\right)^{2} \right) \,dx = \frac{-8}{3}-\left(\frac{-64}{3}\right)
\int_{0}^{2} \left( \left(x - 4\right)^{2} \right) \,dx = \frac{56}{3}
Finalement, \int_{0}^{1} \left( \left(x - 4\right)^{2} \right) \,dx + \int_{1}^{2} \left( \left(x - 4\right)^{2} \right) \,dx = \frac{56}{3} .
Que vaut l'intégrale \int_{1}^{2} \dfrac{2\ln\left(x\right)}{x}dx + \int_{2}^{e} \dfrac{2\ln\left(x\right)}{x}dx ?
On peut simplifier cette expression à l'aide de la relation de Chasles.
En effet, pour une fonction f continue sur un intervalle [a;b] , pour c \in [a;b] , on a :
\int_{a}^{c} f(x) \,dx + \int_{c}^{b} f(x) \,dx = \int_{a}^{b} f(x) \,dx
On a donc :
\int_{1}^{2} \dfrac{2\ln\left(x\right)}{x}dx + \int_{2}^{e} \dfrac{2\ln\left(x\right)}{x}dx = \int_{1}^{e} \dfrac{2\ln\left(x\right)}{x}dx
On détermine une primitive sur ]0;+\infty[ de :
f:x\longmapsto\dfrac{2\ln\left(x\right)}{x}=2\times\dfrac{1}{x}\times\ln\left(x\right)
On remarque que f est de la forme f=2uu', avec :
u(x)=\ln\left(x\right)
Une primitive de f sur ]0;+\infty[ est donc de la forme F= \left( u \right)^{2} :
F:x\longmapsto \left( \ln\left(x\right) \right)^{2}
\int_{1}^{e}\dfrac{2\ln\left(x\right)}{x}dx = \left[ {\left( \ln\left(x\right) \right)^{2}} \right]_{1}^{e}
\int_{1}^{e} \dfrac{2\ln\left(x\right)}{x}dx = \left( \ln\left(e\right) \right)^{2}-\left( \ln\left(1\right) \right)^{2}
Finalement, \int_{1}^{2} \dfrac{2\ln\left(x\right)}{x}dx + \int_{2}^{e} \dfrac{2\ln\left(x\right)}{x}dx = 1.
Que vaut l'intégrale \int_{1}^{2} \left( - \frac{e^{\frac{1}{x}}}{x^{2}} \right) \,dx + \int_{2}^{10} \left( - \frac{e^{\frac{1}{x}}}{x^{2}} \right) \,dx ?
On peut simplifier cette expression à l'aide de la relation de Chasles.
En effet, pour une fonction f continue sur un intervalle [a;b] , pour c \in [a;b] , on a :
\int_{a}^{c} f(x) \,dx + \int_{c}^{b} f(x) \,dx = \int_{a}^{b} f(x) \,dx
On a donc :
\int_{1}^{2} \left( - \frac{e^{\frac{1}{x}}}{x^{2}} \right) \,dx + \int_{2}^{10} \left( - \frac{e^{\frac{1}{x}}}{x^{2}} \right) \,dx = \int_{1}^{10} \left( - \frac{e^{\frac{1}{x}}}{x^{2}} \right) \,dx
On détermine une primitive sur ]0;+\infty[ de :
f:x\longmapsto-\dfrac{1}{x^{2}} \times e^{\dfrac{1}{x}}
On remarque que f est de la forme f = u' e^{u} , avec :
u(x)=\dfrac{1}{x}
Une primitive de f sur ]0;+\infty[ est donc de la forme F = \exp(u) :
F:x\longmapsto e^{\frac{1}{x}}
\int_{1}^{10} \left( - \frac{e^{\frac{1}{x}}}{x^{2}} \right) \,dx = \left[ e^{\frac{1}{x}} \right]_{1}^{10}
\int_{1}^{10} \left( - \frac{e^{\frac{1}{x}}}{x^{2}} \right) \,dx = e^{\frac{1}{10}}-e^{1}
Finalement, \int_{1}^{2} \left( - \frac{e^{\frac{1}{x}}}{x^{2}} \right) \,dx + \int_{2}^{10} \left( - \frac{e^{\frac{1}{x}}}{x^{2}} \right) \,dx = e^{\frac{1}{10}}-e .