On considère le programme de calcul suivant :
Partie A
En choisissant 5 comme nombre de départ, quel est le résultat final obtenu ?
On fait fonctionner le programme de calcul en prenant 5 comme nombre de départ :
- 5 - 2 = 3
- 5 + 1 = 6
- 3 \times 6 = 18
Le résultat final obtenu est 18.
En choisissant 5 comme nombre de départ, le résultat final obtenu est 18.
Quel est le résultat final donné par ce programme lorsque le nombre de départ choisi est -\dfrac{3}{2} ?
On fait fonctionner le programme de calcul en prenant -\dfrac{3}{2} comme nombre de départ :
- -\dfrac{3}{2}-2=-\dfrac{3}{2}-\dfrac{4}{2}=-\dfrac{7}{2}
- -\dfrac{3}{2}+1=-\dfrac{3}{2}+\dfrac{2}{2}=-\dfrac{1}{2}
- -\dfrac{7}{2}\times{(-\dfrac{1}{2})}=\dfrac{7}{4}
Le résultat final obtenu est \dfrac{7}{4}.
Le résultat final donné par ce programme lorsque le nombre de départ choisi est -\dfrac{3}{2} est \dfrac{7}{4}.
Quel script complété correspond au programme de calcul précédemment proposé ?
Le script correspondant au programme de calcul précédemment proposé est le suivant :
Partie B
Soit la fonction g définie, pour un nombre x donné, par g(x) = x^2 - x -2.
À quelle expression est égale l'expression (x-2)(x+1) ?
On développe de la manière suivante :
(x-2)(x+1)=x \times{x}-2\times{x+x\times1}-2\times1
Puis en simplifiant, on obtient :
x^2-2x+x-2
Et en réduisant, on obtient finalement :
x^2-x-2
L'expression (x-2)(x+1) est égale à l'expression x^2-x-2.
Quelles sont les solutions de l'équation (x-2)(x+1)=0 ?
On sait qu'un produit est nul si et seulement si au moins l'un de ses facteurs est nul.
Ici, l'équation (x-2)(x+1)=0 est une équation produit nul.
La résoudre revient à résoudre les deux équations suivantes :
x-2=0 et x+1=0
Ainsi, x est une solution de l'équation (x-2)(x+1)=0 si et seulement si :
x-2\textcolor{Red}{+2}=0\textcolor{Red}{+2} ou x+1\textcolor{Red}{-1}=0\textcolor{Red}{-1}
Et finalement, on obtient :
x=2 ou x=-1
Les solutions de l'équation (x-2)(x+1)=0 sont 2 et -1.
Quels sont les antécédents de 0 par la fonction g ?
Les antécédents de 0 par la fonction g sont les nombres x tels que :
g(x)=0
Ce sont donc les nombres tels que :
x^2-x-2=0
Or, on sait que x^2-x-2=(x-2)(x+1).
Par conséquent, les antécédents de 0 par la fonction g sont les nombres x tels que :
(x-2)(x+1)=0
Autrement dit, ce sont les solutions de l'équation produit nul (x-2)(x+1)=0.
Et d'après la question précédente, ces solutions sont -1 et 2.
Les antécédents de 0 par la fonction g sont -1 et 2.
Parmi les trois graphiques suivants, lequel correspond à la représentation graphique de la fonction g ?
On sait que -1 est un antécédent de 0 par la fonction g.
Autrement dit :
g(-1)=0
Cela signifie que la courbe représentative de la fonction g passe par le point de coordonnées (-1 ; 0).
Sur le graphique 1, on remarque que le point de coordonnées (-1 ; 0) n'appartient pas à la droite.
On en déduit que le graphique 1 ne correspond pas à la représentation graphique de la fonction g.
Par ailleurs :
g(0)=0^2-0-2=0-2=-2
Cela signifie que la courbe représentative de la fonction g passe par le point de coordonnées (0 ; -2).
Sur le graphique 2, on remarque que le point de coordonnées (0 ; -2) n'appartient pas à la droite.
On en déduit que le graphique 2 ne correspond pas à la représentation graphique de la fonction g.
On peut finalement en conclure, par élimination, que c'est le graphique 3 qui correspond à la représentation graphique de la fonction g.
C'est le graphique 3 qui correspond à la représentation graphique de la fonction g.
Quels nombres doit-on choisir comme nombre de départ pour que le programme de calcul donne 0 comme résultat final ?
Si l'on choisit x comme nombre de départ, le programme de calcul donne (x+2)(x-1) comme résultat.
Donc les nombres de départ à choisir pour que le programme de calcul donne 0 comme résultat sont les nombres tels que :
(x+2)(x-1)=0
Autrement dit, ce sont les solutions de l'équation produit nul (x-2)(x+1)=0.
Et on a montré précédemment que ces solutions sont -1 et 2.
Les nombres que l'on doit choisir comme nombres de départ pour que le programme de calcul donne 0 comme résultat final sont -1 et 2.