Calculer des probabilités dans le cadre d'une loi binomiale Exercice

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Dernière modification : 07/08/2019 - Conforme au programme 2019-2020

Soit X une variable aléatoire qui suit une loi binomiale de paramètres n=10 et p=\dfrac{1}{3}

Quelle est la valeur de p\left( X=2 \right) ?

p\left( X=2 \right)=45\left( \dfrac{1}{3}\right)^2\left( \dfrac{2}{3}\right)^{8}

p\left( X=2 \right)=45\left( \dfrac{1}{3}\right)\left( \dfrac{2}{3}\right)^{8}

p\left( X=2 \right)=45\left( \dfrac{1}{3}\right)^2\left( \dfrac{2}{3}\right)^{2}

p\left( X=2 \right)=45\left( \dfrac{1}{3}\right)^8\left( \dfrac{2}{3}\right)^{2}

X suit une loi binomiale de paramètres n=10 et p=\dfrac{1}{3}, donc :

p\left( X=2 \right)=\begin{pmatrix} 10 \cr\cr 2 \end{pmatrix}\left( \dfrac{1}{3}\right)^2\left( \dfrac{2}{3}\right)^{10-2}

p\left( X=2 \right)=\begin{pmatrix} 10 \cr\cr 2 \end{pmatrix}\left( \dfrac{1}{3}\right)^2\left( \dfrac{2}{3}\right)^{8}

Et, comme \begin{pmatrix} 10 \cr\cr 2 \end{pmatrix}=45, on a :

p\left( X=2 \right)=45\left( \dfrac{1}{3}\right)^2\left( \dfrac{2}{3}\right)^{8}

Quelle est la valeur de p\left( X\geqslant9 \right) ?

p\left( X\geqslant9 \right)=\dfrac{21}{3}\times\left( \dfrac{1}{3}\right)^9

p\left( X\geqslant9 \right)=\dfrac{21}{3}\times\left( \dfrac{1}{3}\right)^7

p\left( X\geqslant9 \right)=\left( \dfrac{1}{3}\right)^9

p\left( X\geqslant9 \right)=\left( \dfrac{1}{3}\right)^7

p\left( X\geqslant9 \right)=p\left( X=9 \right)+p\left( X=10 \right)

p\left( X\geqslant9 \right)=\begin{pmatrix} 10 \cr\cr 9 \end{pmatrix}\left( \dfrac{1}{3}\right)^9\left( \dfrac{2}{3}\right)^{10-9}+\begin{pmatrix} 10 \cr\cr 10 \end{pmatrix}\left( \dfrac{1}{3}\right)^{10}\left( \dfrac{2}{3}\right)^{10-10}

p\left( X\geqslant9 \right)=\begin{pmatrix} 10 \cr\cr 9 \end{pmatrix}\left( \dfrac{1}{3}\right)^9\left( \dfrac{2}{3}\right)^{1}+\begin{pmatrix} 10 \cr\cr 10 \end{pmatrix}\left( \dfrac{1}{3}\right)^{10}\left( \dfrac{2}{3}\right)^{0}

Or, on a :

\begin{pmatrix} 10 \cr\cr 9 \end{pmatrix}=10
\begin{pmatrix} 10 \cr\cr 10 \end{pmatrix}=1
\left( \dfrac{4}{5} \right)^0=1

Finalement :

p\left( X\geqslant9 \right)=10\times\left( \dfrac{2}{3}\right)\left( \dfrac{1}{3}\right)^9+\left( \dfrac{1}{3}\right)^{10}

On peut factoriser par \left( \dfrac{1}{3} \right)^9 :

p\left( X\geqslant9 \right)=\left( \dfrac{1}{3}\right)^9\left( 10\times\left( \dfrac{2}{3}\right)+\dfrac{1}{3} \right)

p\left( X\geqslant9 \right)=\dfrac{21}{3}\times\left( \dfrac{1}{3}\right)^9

Quelle est la valeur de p\left( X\geqslant1 \right) ?

p\left( X\geqslant1 \right)=1-\left( \dfrac{2}{3}\right)^{10}

p\left( X\geqslant1 \right)=1-\left( \dfrac{2}{3}\right)^{9}

p\left( X\geqslant1 \right)=1+\left( \dfrac{2}{3}\right)^{10}

p\left( X\geqslant1 \right)=1+\left( \dfrac{2}{3}\right)^{9}

p\left( X\geqslant1 \right)=1-p\left( X=0 \right)

Or on a :

p\left( X=0 \right)=\begin{pmatrix} 10 \cr\cr 0 \end{pmatrix}\left( \dfrac{1}{3}\right)^0\left( \dfrac{2}{3}\right)^{10-0}

p\left( X=0 \right)=\begin{pmatrix} 10 \cr\cr0 \end{pmatrix}\left( \dfrac{1}{3}\right)^0\left( \dfrac{2}{3}\right)^{10}

Et, comme \begin{pmatrix} 10 \cr\cr 0 \end{pmatrix}=1, on obtient :

p\left( X=0 \right)=\left( \dfrac{2}{3}\right)^{10}

Finalement, on a :

p\left( X\geqslant1 \right)=1-\left( \dfrac{2}{3}\right)^{10}