Calculer des probabilités dans le cadre d'une loi binomiale Exercice

X suit une loi binomiale de paramètres n=10 et p=\dfrac{1}{8}, donc :

p\left( X=2 \right)=\begin{pmatrix} 10 \cr\cr 2 \end{pmatrix}\left( \dfrac{1}{8}\right)^2\left( \dfrac{7}{8}\right)^{10-2}

p\left( X=2 \right)=\begin{pmatrix} 10 \cr\cr 2 \end{pmatrix}\left( \dfrac{1}{8}\right)^2\left( \dfrac{7}{8}\right)^{8}

Et, comme \begin{pmatrix} 10 \cr\cr 2 \end{pmatrix}=45, on a :

p\left( X\geqslant9 \right)=p\left( X=9 \right)+p\left( X=10 \right)

p\left( X\geqslant9 \right)=\begin{pmatrix} 10 \cr\cr 9 \end{pmatrix}\left( \dfrac{1}{8}\right)^9\left( \dfrac{7}{8}\right)^{10-9}+\begin{pmatrix} 10 \cr\cr 10 \end{pmatrix}\left( \dfrac{1}{8}\right)^{10}\left( \dfrac{7}{8}\right)^{10-10}

p\left( X\geqslant9 \right)=10\left( \dfrac{1}{8}\right)^9\left( \dfrac{7}{8}\right)^1+\left( \dfrac{1}{8}\right)^{10}

Car on a :

• \begin{pmatrix} 10 \cr\cr 9 \end{pmatrix}=9
• \begin{pmatrix} 10 \cr\cr 10 \end{pmatrix}=1
• \left( \dfrac{7}{8} \right)^0=1

On peut factoriser par \left( \dfrac{1}{8} \right)^9 :

p\left( X\geqslant9 \right)=\left( \dfrac{1}{8} \right)^9\left( 10\times\left( \dfrac{7}{8}\right)+\dfrac{1}{8} \right)

p\left( X\geqslant9 \right)=\dfrac{71}{8}\times\left( \dfrac{1}{8}\right)^9

p\left( X\geqslant1 \right)=1-p\left( X=0 \right)

Or on a :

p\left( X=0 \right)=\begin{pmatrix} 10 \cr\cr 0 \end{pmatrix}\left( \dfrac{1}{8}\right)^0\left( \dfrac{7}{8}\right)^{10-0}

p\left( X=0 \right)=\begin{pmatrix} 10 \cr\cr 0 \end{pmatrix}\left( \dfrac{1}{8}\right)^0\left( \dfrac{7}{8}\right)^{10}

Et, comme \begin{pmatrix} 10 \cr\cr 0 \end{pmatrix}=1, on obtient :

p\left( X=0 \right)=\left( \dfrac{7}{8}\right)^{10}

Finalement, on a :