Calculer des probabilités dans le cadre d'une loi binomiale Exercice

X suit une loi binomiale de paramètres n=12 et p=\dfrac{1}{2}, donc :

p\left( X=2 \right)=\begin{pmatrix} 12 \cr\cr 2 \end{pmatrix}\left( \dfrac{1}{2}\right)^2\left( \dfrac{1}{2}\right)^{12-2}

p\left( X=2 \right)=\begin{pmatrix} 12 \cr\cr 2 \end{pmatrix}\left( \dfrac{1}{2}\right)^2\left( \dfrac{1}{2}\right)^{10}

Et, comme \begin{pmatrix} 12\cr\cr 2 \end{pmatrix}=66, on a :

p\left( X\geqslant11 \right)=p\left( X=11 \right)+p\left( X=12 \right)

p\left( X\geqslant11 \right)=\begin{pmatrix} 12 \cr\cr 11 \end{pmatrix}\left( \dfrac{1}{2}\right)^{11}\left( \dfrac{1}{2}\right)^{12-11}+\begin{pmatrix} 12 \cr\cr 12 \end{pmatrix}\left( \dfrac{1}{2}\right)^{12}\left( \dfrac{4}{5}\right)^{12-12}

p\left( X\geqslant11 \right)=\begin{pmatrix} 12 \cr\cr 11 \end{pmatrix}\left( \dfrac{1}{2}\right)^{11}\left( \dfrac{1}{2}\right)+\begin{pmatrix} 12 \cr\cr 12 \end{pmatrix}\left( \dfrac{1}{2}\right)^{12}

Or, on a :

• \begin{pmatrix} 12 \cr\cr 11 \end{pmatrix}=12
• \begin{pmatrix} 12 \cr\cr 12 \end{pmatrix}=1

Finalement :

p\left( X\geqslant11 \right)=12\times\left( \dfrac{1}{2}\right)\left( \dfrac{1}{2}\right)^{11}+\left( \dfrac{1}{2}\right)^{12}

p\left( X\geqslant11 \right)= \left(12+1\right)\left( \dfrac{1}{2}\right)^{12}

p\left( X\geqslant11 \right)=13\times\left( \dfrac{1}{2}\right)^{12}

p\left( X\geqslant1 \right)=1-p\left( X=0 \right)

Or on a :

p\left( X=0 \right)=\begin{pmatrix} 12 \cr\cr 0 \end{pmatrix}\left( \dfrac{1}{2}\right)^0\left( \dfrac{1}{2}\right)^{12-0}

p\left( X=0 \right)=\begin{pmatrix} 12 \cr\cr0 \end{pmatrix}\left( \dfrac{1}{2}\right)^0\left( \dfrac{1}{2}\right)^{12}

Et, comme \begin{pmatrix} 12 \cr\cr 0 \end{pmatrix}=1, on obtient :

p\left( X=0 \right)=\left( \dfrac{1}{2}\right)^{12}

Finalement, on a :