Calculer des probabilités dans le cadre d'une loi binomiale Exercice

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Dernière modification : 07/08/2019 - Conforme au programme 2019-2020

Soit X une variable aléatoire qui suit une loi binomiale de paramètres n=6 et p=\dfrac{1}{4}

Quelle est la valeur de p\left( X=2 \right) ?

p\left( X=2 \right)=15\left( \dfrac{1}{4}\right)^2\left(\dfrac{3}{4}\right)^4

p\left( X=2 \right)=\left( \dfrac{1}{4}\right)^2\left(\dfrac{3}{4}\right)^4

p\left( X=2 \right)=15\left( \dfrac{3}{4}\right)^2\left(\dfrac{1}{4}\right)^4

p\left( X=2 \right)=\left( \dfrac{1}{4}\right)^2\left(\dfrac{3}{4}\right)^2

X suit une loi binomiale de paramètres n=6 et p=\dfrac{1}{4}, donc :

p\left( X=2 \right)=\begin{pmatrix} 6 \cr\cr 2 \end{pmatrix}\left( \dfrac{1}{4}\right)^2\left( \dfrac{3}{4}\right)^{6-2}

p\left( X=2 \right)=\begin{pmatrix} 6 \cr\cr 2 \end{pmatrix}\left( \dfrac{1}{4}\right)^2\left( \dfrac{3}{4}\right)^{4}

Et, comme \begin{pmatrix} 6\cr\cr 2 \end{pmatrix}=15, on a :

p\left( X=2 \right)=15\left( \dfrac{1}{4}\right)^2\left(\dfrac{3}{4}\right)^4

Quelle est la valeur de p\left( X\geqslant5 \right) ?

p\left(X \geqslant5\right) = \left(\dfrac{1}{4}\right)^5 \times\dfrac{19}{4}

p\left(X \geqslant5\right) = \left(\dfrac{3}{4}\right)^5 \times\dfrac{19}{4}

p\left(X \geqslant5\right) = \left(\dfrac{1}{4}\right)^6 \times\dfrac{19}{3}

p\left(X \geqslant5\right) = \left(\dfrac{1}{4}\right)^5 \times\dfrac{19}{3}

p\left( X\geqslant5 \right)=p\left( X=5 \right)+p\left( X=6 \right)

p\left( X\geqslant5 \right)=\begin{pmatrix} 6 \cr\cr 5 \end{pmatrix}\left( \dfrac{1}{4}\right)^{5}\left( \dfrac{3}{4}\right)^{6-5}+\begin{pmatrix} 6 \cr\cr 6 \end{pmatrix}\left( \dfrac{1}{4}\right)^{6}\left( \dfrac{3}{4}\right)^{6-6}

p\left( X\geqslant5 \right)=\begin{pmatrix} 6 \cr\cr 5 \end{pmatrix}\left( \dfrac{1}{4}\right)^{5}\left( \dfrac{3}{4}\right)+\begin{pmatrix} 6 \cr\cr 6 \end{pmatrix}\left( \dfrac{1}{4}\right)^{6}

Or, on a :

\begin{pmatrix} 6 \cr\cr 5 \end{pmatrix}=6
\begin{pmatrix} 6 \cr\cr 6 \end{pmatrix}=1

Finalement :

p\left( X\geqslant5 \right)=6\times\left( \dfrac{3}{4}\right)\left( \dfrac{1}{4}\right)^{5}+\left( \dfrac{1}{4}\right)^{6}

p\left( X\geqslant5 \right)= \left(\dfrac{1}{4}\right)^5 \left(6\times \dfrac{3}{4} + \dfrac{1}{4}\right)

p\left(X \geqslant5\right) = \left(\dfrac{1}{4}\right)^5 \times\dfrac{19}{4}

Quelle est la valeur de p\left( X\geqslant1 \right) ?

p\left( X\geqslant1 \right)=1-\left( \dfrac{3}{4}\right)^{6}

p\left( X\geqslant1 \right)=1+\left( \dfrac{3}{4}\right)^{6}

p\left( X\geqslant1 \right)=-1-\left( \dfrac{3}{4}\right)^{6}

p\left( X\geqslant1 \right)=-1+\left( \dfrac{3}{4}\right)^{6}

p\left( X\geqslant1 \right)=1-p\left( X=0 \right)

Or on a :

p\left( X=0 \right)=\begin{pmatrix} 6 \cr\cr 0 \end{pmatrix}\left( \dfrac{1}{4}\right)^0\left( \dfrac{3}{4}\right)^{6-0}

p\left( X=0 \right)=\begin{pmatrix} 6 \cr\cr0 \end{pmatrix}\left( \dfrac{1}{4}\right)^0\left( \dfrac{3}{4}\right)^{6}

Et, comme \begin{pmatrix} 6 \cr\cr 0 \end{pmatrix}=1, on obtient :

p\left( X=0 \right)=\left( \dfrac{3}{4}\right)^{6}

Finalement, on a :

p\left( X\geqslant1 \right)=1-\left( \dfrac{3}{4}\right)^{6}