Soit X une variable aléatoire qui suit une loi binomiale de paramètres n=8 et p=\dfrac{1}{7}
Quelle est la valeur de p\left( X=2 \right) ?
X suit une loi binomiale de paramètres n=8 et p=\dfrac{1}{7}, donc :
p\left( X=2 \right)=\begin{pmatrix} 8 \cr\cr 2 \end{pmatrix}\left( \dfrac{1}{7}\right)^2\left( \dfrac{6}{7}\right)^{8-2}
p\left( X=2 \right)=\begin{pmatrix} 8 \cr\cr 2 \end{pmatrix}\left( \dfrac{1}{7}\right)^2\left( \dfrac{6}{7}\right)^{6}
Et, comme \begin{pmatrix} 8 \cr\cr 2 \end{pmatrix}=28, on a :
p\left( X=2 \right)=28\left( \dfrac{1}{7}\right)^2\left( \dfrac{6}{7}\right)^{6}
Quelle est la valeur de p\left( X\geqslant7 \right) ?
p\left( X\geqslant7 \right)=p\left( X=7 \right)+p\left( X=8 \right)
p\left( X\geqslant7 \right)=\begin{pmatrix} 8 \cr\cr 7 \end{pmatrix}\left( \dfrac{1}{7}\right)^7\left( \dfrac{6}{7}\right)^{8-7}+\begin{pmatrix} 8 \cr\cr 8 \end{pmatrix}\left( \dfrac{1}{7}\right)^8\left( \dfrac{6}{7}\right)^{8-8}
p\left( X\geqslant7 \right)=8\left( \dfrac{1}{7}\right)^7\left( \dfrac{6}{7}\right)^1+\left( \dfrac{1}{7}\right)^8
Car on a :
- \begin{pmatrix} 8 \cr\cr 7 \end{pmatrix}=8
- \begin{pmatrix} 8 \cr\cr 8 \end{pmatrix}=1
- \left( \dfrac{7}{8} \right)^0=1
On peut factoriser par \left( \dfrac{1}{7} \right)^7 :
p\left( X\geqslant7 \right)=\left( \dfrac{1}{7} \right)^7\left( 8\times\left( \dfrac{6}{7}\right)+\dfrac{1}{7} \right)
p\left( X\geqslant7 \right)=\dfrac{49}{7}\times\left( \dfrac{1}{7}\right)^7
p\left( X\geqslant7 \right)=7\times\left( \dfrac{1}{7}\right)^7
p\left( X\geqslant7 \right)=\left( \dfrac{1}{7}\right)^6
p\left( X\geqslant7 \right)=\left( \dfrac{1}{7}\right)^6
Quelle est la valeur de p\left( X\geqslant1 \right) ?
p\left( X\geqslant1 \right)=1-p\left( X=0 \right)
Or on a :
p\left( X=0 \right)=\begin{pmatrix} 8 \cr\cr 0 \end{pmatrix}\left( \dfrac{1}{7}\right)^0\left( \dfrac{6}{7}\right)^{8-0}
p\left( X=0 \right)=\begin{pmatrix} 8 \cr\cr 0 \end{pmatrix}\left( \dfrac{1}{7}\right)^0\left( \dfrac{6}{7}\right)^{8}
Et, comme \begin{pmatrix} 8 \cr\cr 0 \end{pmatrix}=1, on obtient :
p\left( X=0 \right)=\left( \dfrac{6}{7}\right)^{8}
Finalement, on a :
p\left( X\geqslant1 \right)=1-\left( \dfrac{6}{7}\right)^{8}