Une expérience consiste à lancer deux dés équilibrés et à observer la somme des points obtenus.
Le tableau à double entrée suivant récapitule ainsi toutes les issues possibles de l'expérience.
| Dés | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 |
|---|---|---|---|---|---|---|
| 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 |
| 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 |
| 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 |
| 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 |
| 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 |
| 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 |
Quelle est la probabilité de l'événement « obtenir un résultat pair » ?
Le tableau précédant compte 36 cases, ce qui signifie que l'expérience possède 36 issues équiprobables (car les dés sont équilibrés) distinctes.
Donc chacune des issues de l'expérience a la même probabilité : \dfrac{1}{36}.
- Il y a une seule case comportant la somme 2, donc sa probabilité est de \dfrac{1}{36}.
- Il y a deux cases comportant la somme 3, donc sa probabilité est de \dfrac{2}{36}=\dfrac{1}{18}.
- Il y a trois cases comportant la somme 4, donc sa probabilité est de \dfrac{3}{36}.
- Il y a quatre cases comportant la somme 5, donc sa probabilité est de \dfrac{4}{36}=\dfrac{1}{9}.
On procède de la même façon pour toutes les autres sommes possibles.
On obtient donc le tableau suivant :
| Somme des dés | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| Probabilité associée | \dfrac{1}{36} | \dfrac{2}{36} | \dfrac{3}{36} | \dfrac{4}{36} | \dfrac{5}{36} | \dfrac{6}{36} | \dfrac{5}{36} | \dfrac{4}{36} | \dfrac{3}{36} | \dfrac{2}{36} | \dfrac{1}{36} |
Pour réaliser l'événement « obtenir un résultat pair », on doit obtenir 2 ou 4 ou 6 ou 8 ou 10 ou 12.
Ainsi, la probabilité vaut :
\dfrac{1}{36}+\dfrac{3}{36}+\dfrac{5}{36}+\dfrac{5}{36}+\dfrac{3}{36}+\dfrac{1}{36}=\dfrac{18}{36}=\dfrac{1}{2}
La probabilité d'obtenir un résultat pair est donc de \dfrac{1}{2}.
Une expérience consiste à lancer deux dés équilibrés et à observer le produit des points obtenus.
Le tableau à double entrée suivant récapitule ainsi toutes les issues possibles de l'expérience.
| Dés | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 |
|---|---|---|---|---|---|---|
| 1 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 |
| 2 | 2 | 4 | 6 | 8 | 10 | 12 |
| 3 | 3 | 6 | 9 | 12 | 15 | 18 |
| 4 | 4 | 8 | 12 | 16 | 20 | 24 |
| 5 | 5 | 10 | 15 | 20 | 25 | 30 |
| 6 | 6 | 12 | 18 | 24 | 30 | 36 |
Quelle est la probabilité de l'événement « obtenir un résultat multiple de 5 » ?
Le tableau précédant compte 36 cases, ce qui signifie que l'expérience possède 36 issues équiprobables (car les dés sont équilibrés) distinctes.
Donc chacune des issues de l'expérience a la même probabilité : \dfrac{1}{36}.
- Il y a une seule case comportant le produit 1, donc sa probabilité est de \dfrac{1}{36}.
- Il y a deux cases comportant le produit 2, donc sa probabilité est de \dfrac{2}{36}=\dfrac{1}{18}.
- Il y a deux cases comportant le produit 3, donc sa probabilité est de \dfrac{2}{36}=\dfrac{1}{18}.
- Il y a trois cases comportant le produit 4, donc sa probabilité est de \dfrac{3}{36}=\dfrac{1}{12}.
On procède de même pour toutes les autres sommes possibles.
On obtient donc le tableau suivant :
| Produit des dés | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 8 | 9 | 10 | 12 | 15 | 16 | 18 | 20 | 24 | 25 | 30 | 36 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| Probabilité associée | \dfrac{1}{36} | \dfrac{2}{36} | \dfrac{2}{36} | \dfrac{3}{36} | \dfrac{2}{36} | \dfrac{4}{36} | \dfrac{2}{36} | \dfrac{1}{36} | \dfrac{2}{36} | \dfrac{4}{36} | \dfrac{2}{36} | \dfrac{1}{36} | \dfrac{2}{36} | \dfrac{2}{36} | \dfrac{2}{36} | \dfrac{1}{36} | \dfrac{2}{36} | \dfrac{1}{36} |
Les multiples de 5 obtenus avec le produit des dés sont : 5, 10, 15, 20, 25 et 30.
Il y a équiprobabilité. On additionne donc les probabilités associées à chacun de ces produits :
\dfrac{2}{36}+\dfrac{2}{36}+\dfrac{2}{36}+\dfrac{2}{36}+\dfrac{1}{36}+\dfrac{2}{36}=\dfrac{11}{36}
La probabilité d'obtenir un multiple de 5 est donc de \dfrac{11}{36}.
On considère une cité scolaire de 2 000 élèves, regroupant des collégiens et des lycéens. 19 % de l'effectif total est en classe de terminale. Parmi ces élèves de terminale, 55 % sont des filles. Le taux de réussite au baccalauréat dans cet établissement est de 85 %. Parmi les candidats ayant échoué, la proportion des filles a été de \dfrac{8}{19}.
On obtient le tableau suivant :
|
| Garçons | Filles | Total |
|---|---|---|---|
| Réussite | 138 | 185 | 323 |
| Échec | 33 | 24 | 57 |
| Total | 171 | 209 | 380 |
Après la publication des résultats, on choisit au hasard un élève parmi l'ensemble des élèves de terminale.
On considère les événements suivants :
G : « l'élève est un garçon »
R : « l'élève a eu son baccalauréat »
Quelle est la probabilité de l'événement \overline{G} \cup R ? On donnera les résultats sous forme décimale, arrondis à 10^{-2} près.
On a p\left(\overline{G}\right)=\dfrac{209}{380}, p(R)=\dfrac{323}{380} et p\left(\overline{G}\cap R\right)=\dfrac{185}{380}.
On sait que :
p\left(\overline{G}\cup R\right)=p\left(\overline{G}\right)+p(R)-p\left(\overline{G}\cap R\right) =\dfrac{209}{380}+\dfrac{323}{380}-\dfrac{185}{380} =\dfrac{347}{380} \approx 0{,}91
La probabilité de l'événement \overline{G}\cup R est p\left(\overline{G}\cup R\right) \approx 0{,}91.
On interroge 100 personnes pour savoir si elles sont satisfaites du président de la République et du Premier ministre.
20 personnes sont satisfaites des deux, 35 sont satisfaites du président de la République et 27 ne sont satisfaites que du Premier ministre.
On obtient donc le tableau suivant :
| Nombres de personnes | Satisfaites du président | Non satisfaites du président | Total |
|---|---|---|---|
| Satisfaites du Premier ministre | 20 | 27 | 47 |
| Non satisfaites du Premier ministre | 15 | 38 | 53 |
| Total | 35 | 65 | 100 |
On choisit une personne au hasard parmi les personnes interrogées.
Quelle est la probabilité de l'événement « choisir une personne satisfaite du Premier ministre » ?
47 personnes sur les 100 interrogées sont satisfaites du Premier ministre.
La probabilité de l'événement « choisir une personne satisfaite du Premier ministre » est donc de \dfrac{47}{100}=0{,}47.
Voici la répartition des groupes sanguins et des Rhésus en France :
| Groupe O | Groupe A | Groupe B | Groupe AB | |
| Rhésus + | 36 % | 38 % | 8 % | 3 % |
| Rhésus - | 6 % | 7 % | 1 % | 1 % |
On choisit une personne au hasard parmi les personnes de groupe sanguin O.
Quelle est la probabilité de l'événement « choisir une personne de Rhésus + » ?
36 % des personnes sont de groupe O et de Rhésus +.
0{,}36+0{,}06=0{,}42 : 42 % des personnes sont du groupe O.
\dfrac{0{,}36}{0{,}42}=\dfrac{6}{7}
On choisit une personne au hasard parmi les personnes de groupe sanguin O. La probabilité de l'événement « choisir une personne de Rhésus + » est de \dfrac{6}{7}.