Sommaire
Méthode 1En utilisant le dénombrement 1Nommer l'événement 2Énoncer la formule 3Dénombrer les issues favorables 4Dénombrer les issues possibles 5Calculer la probabilitéMéthode 2En utilisant une formule 1Exprimer l'événement en fonction d'événements connus 2Réciter la formule nécessaire 3Rappeler la probabilité connue 4Effectuer le calculEn utilisant le dénombrement
Lorsque l'on est dans une situation d'équiprobabilité, la probabilité d'un événement peut être calculée en utilisant le dénombrement.
On tire au hasard une boule dans une urne contenant 100 boules numérotées de 1 à 100. Calculer la probabilité que le numéro tiré comporte au moins un chiffre 2.
Nommer l'événement
On donne un nom à l'événement (généralement, une lettre majuscule).
Par exemple, A : "l'élève est une fille".
On appelle B l'événement "le numéro tiré comporte au moins un chiffre 2".
On cherche p\left(B\right).
Énoncer la formule
On vérifie que l'on est dans une situation d'équiprobabilité, c'est-à-dire que toutes les issues ont la même probabilité de se produire.
On a alors p\left(A\right) = \dfrac{Card\left(A\right)}{Card\left(\Omega\right)}, avec :
- Card\left(A\right), abréviation de "cardinal", est le nombre d'éventualités (ou issues) réalisant l'événement A.
- \Omega est l'univers.
- Card\left(\Omega\right) est le nombre total d'issues de l'expérience.
La situation est équiprobable, chaque boule ayant autant de chances d'être tirée qu'une autre.
Ainsi :
p\left(B\right) = \dfrac{Card\left(B\right)}{Card\left(\Omega\right)}
Dénombrer les issues favorables
On calcule Card\left(A\right), le nombre d'issues de l'expérience qui réalisent l'événement A.
On détermine le nombre d'issues possibles pour lesquelles B est réalisé. B est réalisé lorsque l'on tire les boules :
2, 12, 20, 21, 22, 23, 24, 25, 26, 27, 28, 29, 32, 42, 52, 62, 72, 82, 92.
Donc :
Card\left(B\right) = 19
Dénombrer les issues possibles
On calcule Card\left(\Omega\right), le nombre d'issues totales de l'expérience.
Il y a 100 issues possibles pour cette expérience.
Ainsi :
Card\left(\Omega\right) = 100
Calculer la probabilité
On effectue le calcul.
La probabilité trouvée doit appartenir à l'intervalle \left[ 0;1 \right].
Ainsi :
p\left(B\right) = \dfrac{19}{100} = 0{,}19
En utilisant une formule
La probabilité d'un événement peut parfois être calculée en utilisant les formules du cours.
Dans une classe, on peut pratiquer deux sports, le tennis et le basket. 35% des élèves jouent au tennis, \dfrac{1}{5} des élèves jouent au basket et 60% des élèves ne pratiquent aucun sport.
On choisit un élève au hasard, quelle est la probabilité qu'il joue au tennis et au basket ?
Exprimer l'événement en fonction d'événements connus
On exprime l'événement A en fonction d'événements dont on connaît déjà la probabilité.
Par exemple :
- A = \overline{B}
- A = B \cup C
- A = B \cap C
On note B l'événement "l'élève joue au basket" et T l'événement "l'élève joue au tennis".
On cherche p\left(B \cap T\right), la probabilité que l'élève joue à la fois au tennis et au basket.
Réciter la formule nécessaire
On connaît les formules suivantes :
- p\left(\overline B\right) = 1- p\left(B\right)
- p\left(B \cup T\right) = p\left(B\right) +p\left(T\right) -p\left(B \cap T\right)
- p\left(B \cap T\right) = p\left(B\right) +p\left(T\right) -p\left(B \cup T\right)
On sait que p\left(B \cap T\right) = p\left(B\right) +p\left(T\right) -p\left(B \cup T\right).
Rappeler la probabilité connue
On rappelle la valeur de la probabilité connue. Elle peut être donnée dans l'énoncé ou dans les questions précédentes.
D'après l'énoncé :
- p\left(T\right) =35\% = 0{,}35
- p\left(B\right) = \dfrac{1}{5} = 0{,}2
De plus :
p\left( \overline{B\cup T} \right)= 0{,}6
Donc :
p\left(B \cup T \right)=1-p\left( \overline{B\cup T} \right)= 1- 0{,}6=0{,}4
Effectuer le calcul
On calcule enfin la probabilité de l'événement cherché.
On en déduit que :
p\left(B \cap T\right) = 0{,}35 + 0{,}2 - 0{,}4
Donc :
p\left(B \cap T\right) = 0{,}15
La probabilité que l'élève choisi au hasard joue au tennis et au basket est de 0,15.