Dériver un produit de fonctions Exercice

On pose, pour tout réel x strictement positif, u\left(x\right)=x^2-2x+3 et v\left(x\right)=\sqrt{x}.

u et v sont dérivables sur \left]0;+\infty\right[ et pour tout réel x strictement positif, on a :

u'\left(x\right)=2x-2 et v'\left(x\right)=\dfrac1{2\sqrt{x}}.

Or f=u\times v donc f'=u'v+uv'

Ainsi, pour tout réel x strictement positif, on a :

\begin{aligned}f'\left(x\right)&=\left(2x-2\right)\sqrt{x}+\left(x^2-2x+3\right)\dfrac1{2\sqrt{x}}& \\ &= 2x\sqrt{x}-2\sqrt{x}+\dfrac{x\sqrt{x}}2-\sqrt{x}+\dfrac3{2\sqrt{x}}& \\ &=\dfrac52x\sqrt{x}-3\sqrt{x}+\dfrac3{2\sqrt{x}}\end{aligned}

On pose, pour tout réel x, u\left(x\right)=3x+2 et v\left(x\right)=4x^2-5x+1.

u et v sont dérivables sur \mathbb{R} et pour tout réel x, on a :

u'\left(x\right)=3 et v'\left(x\right)=8x-5.

Or f=u\times v donc f'=u'v+uv'

Ainsi, pour tout réel x, on a :

\begin{aligned}f'\left(x\right)&=3\left(4x^2-5x+1\right)+\left(3x+2\right)\left(8x-5\right)&\\&=12x^2-15x+3+24x^2-15x+16x-10&\\&=36x^2-14x-7\end{aligned}

On pose, pour tout réel x strictement positif, u\left(x\right)=\dfrac1{x^2} et v\left(x\right)=2x-5\sqrt{x}.

u et v sont dérivables sur \left]0;+\infty\right[ et pour tout réel x strictement positif, on a :

u'\left(x\right)=-\dfrac2{x^3} et v'\left(x\right)=2-\dfrac5{2\sqrt{x}}.

Or f=u\times v donc f'=u'v+uv'

Ainsi, pour tout réel x strictement positif, on a :

\begin{aligned}f'\left(x\right)&=-\dfrac2{x^3}\left(2x-5\sqrt{x}\right)+\dfrac1{x^2}\left(2-\dfrac5{2\sqrt x}\right)&\\&= -\dfrac{4x}{x^3}+\dfrac{10\sqrt{x}}{x^3}+\dfrac{2}{x^2}-\dfrac5{2x^2\sqrt{x}}&\\ &=-\dfrac{4}{x^2}+\dfrac{2}{x^2}+\dfrac{10}{x^2\sqrt{x}}-\dfrac5{2x^2\sqrt{x}}\\&=-\dfrac2{x^2}+\dfrac{20}{2x^2\sqrt x}-\dfrac{5}{2x^2\sqrt x}\\&=-\dfrac2{x^2}+\dfrac{15}{2x^2\sqrt x}\\&=\dfrac{15-4\sqrt x}{2x^2\sqrt x}\end{aligned}

On pose, pour tout réel x non nul, u\left(x\right)=-\dfrac2x et v\left(x\right)=4x+3.

u et v sont dérivables sur \mathbb{R}^* et pour tout réel x non nul, on a :

u'\left(x\right)=\dfrac2{x^2} et v'\left(x\right)=4.

Or f=u\times v donc f'=u'v+uv'

Ainsi, pour tout réel x non nul, on a :

\begin{aligned}f'\left(x\right)&=\dfrac2{x^2}\left(4x+3\right)+\left(-\dfrac2x\right)\times4&\\&=\dfrac{8x}{x^2}+\dfrac6{x^2}-\dfrac8x&\\&=\dfrac8x-\dfrac8x+\dfrac{6}{x^2}&\\&=\dfrac6{x^2}\end{aligned}

On pose, pour tout réel x strictement positif, u\left(x\right)=x^4 et v\left(x\right)=3+\sqrt{x}.

u et v sont dérivables sur \left]0;+\infty\right[ et pour tout réel x strictement positif, on a :

u'\left(x\right)=4x^3 et v'\left(x\right)=\dfrac1{2\sqrt{x}}.

Or f=u\times v donc f'=u'v+uv'

Ainsi, pour tout réel x strictement positif, on a :

\begin{aligned}f'\left(x\right)&=4x^3\left(3+\sqrt x\right)+x^4\left(\dfrac1{2\sqrt x}\right)&\\&= 12x^3+4x^3\sqrt{x}+\dfrac12x^3\sqrt{x}&\\&=12x^3+\dfrac92x^3\sqrt x\end{aligned}

On pose, pour tout réel x, u\left(x\right)=-3x^2+5x-7 et v\left(x\right)=2-x^3.

u et v sont dérivables sur \mathbb{R} et pour tout réel x, on a :

u'\left(x\right)=-6x+5 et v'\left(x\right)=-3x^2.

Or f=u\times v donc f'=u'v+uv'

Ainsi, pour tout réel x, on a :

\begin{aligned}f'\left(x\right)&=\left(-6x+5\right)\left(2-x^3\right)+\left(-3x^2+5x-7\right)\left(-3x^2\right)&\\&= -12x+6x^4+10-5x^3+9x^4-15x^3+21x^2&\\&=15x^4-20x^3+21x^2-12x+10\end{aligned}

On pose, pour tout réel x non nul, u\left(x\right)=3-5x^4 et v\left(x\right)=\dfrac4{x^3}.

u et v sont dérivables sur \mathbb{R}^* et pour tout réel x non nul, on a :

u'\left(x\right)=-20x^3 et v'\left(x\right)=4\times\left(-\dfrac{3x^2}{\left(x^3\right)^2}\right)=-\dfrac{12x^2}{x^6}=-\dfrac{12}{x^4}.

Or f=u\times v donc f'=u'v+uv'

Ainsi, pour tout réel x non nul, on a :

\begin{aligned}f'\left(x\right)&=-20x^3\times\dfrac4{x^3}+\left(3-5x^4\right)\times\left(-\dfrac{12}{x^4}\right)&\\&=-80-\dfrac{36}{x^4}+60&\\&=-20-\dfrac{36}{x^4}\end{aligned}