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  4. Méthode : Déterminer le signe d'une fonction à partir de son tableau de variations

Déterminer le signe d'une fonction à partir de son tableau de variations Méthode

Sommaire

Méthode 1Lorsque la fonction admet un maximum négatif 1Repérer le maximum 2Énoncer le cours 3ConclureMéthode 2Lorsque la fonction admet un minimum positif 1Repérer le minimum 2Énoncer le cours 3ConclureMéthode 3Dans les autres cas 1Repérer les limites et extremums locaux dans le tableau de variations 2Repérer les points où la fonction change de signe 3Dresser un tableau de variations faisant apparaître les "0" 4Conclure sur le signe de la fonction
Méthode 1

Lorsque la fonction admet un maximum négatif

Une fonction admettant un maximum négatif sur un intervalle I est négative sur I.

On donne le tableau de variations suivant associé à une fonction f définie sur \mathbb{R} :

-

Déterminer le signe de f sur \mathbb{R}.

Etape 1

Repérer le maximum

On identifie la valeur du maximum dans le tableau de variations.

Le maximum sur \mathbb{R} de la fonction f est égal à -4.

Etape 2

Énoncer le cours

On rappelle que si une fonction f admet un maximum négatif sur son intervalle de définition I alors cette fonction est négative sur I.

Le maximum sur \mathbb{R} de la fonction f est égal à -4, il est donc négatif.

Or, une fonction admettant un maximum négatif sur son intervalle de définition I est négative sur I.

Etape 3

Conclure

On conclut que f est négative sur I.

Ainsi, f est négative sur \mathbb{R}.

Méthode 2

Lorsque la fonction admet un minimum positif

Une fonction admettant un minimum positif sur un intervalle I est positive sur I.

On donne le tableau de variations suivant associé à une fonction f définie sur \mathbb{R} :

-

Déterminer le signe de f sur \mathbb{R}.

Etape 1

Repérer le minimum

On identifie la valeur du minimum dans le tableau de variations.

Le minimum sur \mathbb{R} de la fonction f est égal à 1.

Etape 2

Énoncer le cours

On rappelle que si une fonction f admet un minimum positif sur son intervalle de définition I alors cette fonction est positive sur I.

Le minimum sur \mathbb{R} de la fonction f est égal à 1, il est donc positif.

Or, une fonction admettant un minimum positif sur son intervalle de définition I est positive sur I.

Etape 3

Conclure

On conclut que f est positive sur I.

Ainsi, f est positive sur \mathbb{R}.

Méthode 3

Dans les autres cas

Grâce au tableau de variations et aux informations qu'il contient sur la fonction f, il est possible de déterminer le signe de cette fonction si l'on connaît les réels pour lesquels la fonction s'annule.

On donne le tableau de variations suivant associé à une fonction f définie sur \mathbb{R} :

-

On précise que f\left(4\right) = 0.

Déterminer le signe de f sur \mathbb{R}.

Etape 1

Repérer les limites et extremums locaux dans le tableau de variations

On identifie les limites et extremums locaux de la fonction.

D'après le tableau de variations :

  • \lim\limits_{x \to -\infty} f\left(x\right) = -10
  • \lim\limits_{x \to +\infty} f\left(x\right) = 10
  • f\left(-5\right) =- 2
  • f\left(2\right)=-5
Etape 2

Repérer les points où la fonction change de signe

On identifie les abscisses des points de changement de signe. On les nomme si besoin ( x_1, x_2, etc.)

D'après l'énoncé, f\left(4\right)= 0 donc la fonction f change de signe au point d'abscisse 4.

Etape 3

Dresser un tableau de variations faisant apparaître les "0"

On complète le tableau de variations en y renseignant les points pour lesquels la fonction s'annule.

On complète le tableau de variations en y renseignant le point pour lequel la fonction change de signe :

-
Etape 4

Conclure sur le signe de la fonction

À l'aide du tableau de variations complété, on conclut sur le signe de la fonction.

On observe dans le tableau de variations que :

  • \forall x \in \left]-\infty ; 4 \right[, f\left(x\right) \lt 0
  • \forall x \in \left]4; +\infty \right[, f\left(x\right) \gt 0

On obtient le signe de f\left(x\right) suivant les valeurs de x :

-
Voir aussi
  • Cours : Dérivation
  • Méthode : Etudier le signe de la fonction dérivée
  • Méthode : Etudier le sens de variation d'une fonction
  • Exercice : Connaître les caractéristiques d'un nombre dérivé
  • Exercice : Calculer le taux de variation d'une fonction entre deux points donnés
  • Exercice : Déterminer si une fonction est dérivable et donner son nombre dérivé en un point donné
  • Exercice : Interpréter un nombre dérivé en fonction du contexte
  • Exercice : Connaître les caractéristiques d'une fonction dérivable
  • Exercice : Connaître la formule de dérivation de la fonction affine
  • Exercice : Connaître la formule de dérivation de la fonction carré
  • Exercice : Connaître la formule de dérivation de la fonction cube
  • Exercice : Connaître la formule de dérivation de la fonction inverse
  • Exercice : Connaître la formule de dérivation de la fonction racine carrée
  • Exercice : Connaître la formule de dérivation de la fonction puissance
  • Exercice : Connaître les formules de dérivation des fonctions affine, carré, cube, inverse, racine carrée et puissance
  • Problème : Démontrer la forme de la dérivée d'une fonction carré
  • Problème : Démontrer la forme de la dérivée d'une fonction inverse
  • Problème : Démontrer que la fonction racine carrée n'est pas dérivable en 0
  • Exercice : Connaître la formule de dérivation de la composition d'une fonction affine par une fonction quelconque
  • Exercice : Dériver une fonction affine
  • Exercice : Réécrire une fonction valeur absolue sans valeur absolue
  • Exercice : Donner la courbe représentative de f et de valeur absolue de f
  • Problème : Étudier la dérivabilité d'une fonction affine composée par une fonction valeur absolue
  • Exercice : Déterminer le domaine de dérivabilité d'une composition d'une fonction affine par une fonction carré, cube, inverse, racine carrée et puissance
  • Exercice : Dériver une fonction affine composée par une fonction carré
  • Exercice : Dériver une fonction affine composée par une fonction cube
  • Exercice : Dériver une fonction affine composée par une fonction inverse
  • Exercice : Dériver une fonction affine composée par une fonction racine carrée
  • Exercice : Dériver une fonction affine composée par une fonction puissance
  • Exercice : Dériver une fonction affine composée par une fonction carré, cube, inverse, racine carrée ou puissance
  • Exercice : Connaître la formule de dérivation d'une somme de fonctions dérivables
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  • Exercice : Dériver une fonction polynomiale
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  • Exercice : Déterminer graphiquement un nombre dérivé d'une fonction en un point à l'aide de la tangente à sa courbe représentative
  • Exercice : Retrouver graphiquement l'équation de la tangente
  • Exercice : Calculer le coefficient directeur d'une tangente à la courbe représentative d'une fonction en un point donné
  • Exercice : Déterminer l'équation de la tangente à la courbe en un point fixé
  • Exercice : Construire la tangente à la courbe représentative d'une fonction en un point donné
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  • Quiz : Dérivation
  • Méthode : Déterminer le nombre dérivé de f en un réel
  • Méthode : Dériver une fonction à l'aide des formules usuelles
  • Méthode : Donner une équation d'une tangente à la courbe d'une fonction dérivable
  • Méthode : Etudier la position de la courbe par rapport à une tangente
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  • Méthode : Déterminer graphiquement la valeur de f'(a)
  • Méthode : Dériver une fonction
  • Méthode : Déterminer le signe d'une dérivée
  • Méthode : Dresser le tableau de variations d'une fonction
  • Méthode : Déterminer une équation d'une tangente à la courbe
  • Méthode : Déterminer la position relative d'une courbe et de sa tangente
  • Méthode : Retrouver une tangente particulière
  • Méthode : Obtenir le signe de la dérivée à partir de la représentation graphique de f
  • Méthode : Obtenir le sens de variation de f à partir de la représentation graphique de f'

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