Après avoir déterminé une équation de la tangente, il est souvent demandé de déterminer la position relative de la courbe et de cette tangente, c'est-à-dire d'étudier laquelle est graphiquement au-dessus de l'autre. Cette question se résout par une étude de signe.
On considère la fonction f définie sur \mathbb{R} par :
\forall x \in \mathbb{R}, f\left(x\right)=x^3-2x^2+x-4
On appelle C_f sa courbe représentative et T sa tangente au point d'abscisse 0 d'équation y=x-4.
Déterminer la position relative de C_f et de T.
Rappeler l'équation de la tangente
D'après le cours, on sait qu'une équation de la tangente à C_f (la courbe représentative de f) au point d'abscisse a est :
y = f'\left(a\right)\left(x-a\right)+f\left(a\right)
Si on ne connaît pas déjà l'équation de la tangente, on la détermine.
Une expression de la tangente T au point d'abscisse 0 est ici connue :
T:y= x-4
Énoncer la démarche
On énonce la démarche : pour étudier la position relative de C_f et de T:y=ax+b, on étudie le signe de f\left(x\right) -\left(ax+b\right).
Pour étudier la position relative de C_f et de T, on étudie le signe de f\left(x\right) -\left(x-4\right).
Calculer f\left(x\right)-\left(ax+b\right)
On calcule f\left(x\right) -\left(ax+b\right) et on simplifie au maximum afin d'obtenir une expression dont il est facile de déterminer le signe.
Pour tout réel x :
f\left(x\right) - \left(x-4\right)= x^3-2x^2+x-4 -x+4
f\left(x\right) - \left(x-4\right)= x^3-2x^2
On factorise alors l'expression obtenue pour pouvoir ensuite étudier son signe :
f\left(x\right) - \left(x-4\right)= x^2\left(x-2\right)
Étudier le signe de f\left(x\right)-\left(ax+b\right)
On étudie le signe de f\left(x\right) -\left(ax+b\right) en fonction des valeurs de x. On peut utiliser un tableau de signes en cas d'expression compliquée.
On étudie le signe de f\left(x\right) -\left(x-4\right) :
- Pour tout réel x, x^2 \geq0
- x-2 \gt 0 \Leftrightarrow x \gt 2
On en déduit le tableau de signes suivant :
Conclure
On conclut sur la position relative, en trois points :
- Sur les intervalles où f\left(x\right) -\left(ax+b\right) \gt 0, C_f est au-dessus de T.
- Sur les intervalles où f\left(x\right) -\left(ax+b\right) \lt 0, C_f est en dessous de T.
- Lorsque f\left(x\right) -\left(ax+b\right) = 0, C_f et T ont un point d'intersection (c'est le cas notamment pour le point de tangence).
Ainsi :
- C_f est au-dessus de T sur \left]2 ; +\infty \right[.
- C_f est en dessous de T sur \left]-\infty;2 \right[.
- C_f et T se coupent au point d'abscisse 2 et ont un point de tangence au point d'abscisse 0.