Soit f la fonction définie sur \mathbb{R} par :
f\left(x\right)=x^2-4x+7
Quelle est l'équation de la tangente T à \mathscr{C}_f au point d'abscisse a = -1 ?
Donner l'équation de la tangente
L'équation de la tangente à \mathscr{C}_f au point d'abscisse a est de la forme y=f'\left(a\right)\left(x-a\right)+f\left(a\right).
Donc T a pour équation :
y=f'\left(-1\right)\left(x+1\right)+f\left(-1\right)
Calculer f'\left(a\right)
f est dérivable sur \mathbb{R} et, pour tout réel x, f'\left(x\right)=2x-4
On a donc f'\left(-1\right)=2\times\left(-1\right)-4=-2-4=-6
Calculer f\left(a\right)
De plus, pour tout réel x, f\left(x\right)=x^2-4x+7
On a donc f\left(-1\right)=\left(-1\right)^2-4\times\left(-1\right)+7=1+4+7=12
Faire l'application numérique
On obtient l'équation de la tangente :
\begin{aligned}\\y&=f'\left(-1\right)\left(x+1\right)+f\left(-1\right)\\&=-6\left(x+1\right)+12\\&=-6x-6+12\\&=-6x+6\end{aligned}
L'équation de la tangente à \mathscr{C}_f au point d'abscisse -1 est y=-6x+6.
Soit f la fonction définie sur \mathbb{R} par :
f\left(x\right)=3x^2+5x-3
Quelle est l'équation de la tangente T à \mathscr{C}_f au point d'abscisse a = 2 ?
Donner l'équation de la tangente
L'équation de la tangente à \mathscr{C}_f au point d'abscisse a est de la forme y=f'\left(a\right)\left(x-a\right)+f\left(a\right).
Donc T a pour équation :
y=f'\left(2\right)\left(x-2\right)+f\left(2\right)
Calculer f'\left(a\right)
f est dérivable sur \mathbb{R} et, pour tout réel x, f'\left(x\right)=6x+5
On a donc f'\left(2\right)=6\times\left(2\right)+5=12+5=17
Calculer f\left(a\right)
De plus, pour tout réel x, f\left(x\right)=3x^2+5x-3
On a donc f\left(2\right)=3\times2^2+5\times2-3=12+10-3=19
Faire l'application numérique
On obtient l'équation de la tangente :
\begin{aligned}\\y&=f'\left(2\right)\left(x-2\right)+f\left(2\right)\\&=17\left(x-2\right)+19\\&=17x-34+19\\&=17x-15\end{aligned}
L'équation de la tangente à \mathscr{C}_f au point d'abscisse 2 est y=17x-15.
Soit f la fonction définie sur \mathbb{R} par :
f\left(x\right)=-4x^2+2
Quelle est l'équation de la tangente T à \mathscr{C}_f au point d'abscisse a = 2 ?
Donner l'équation de la tangente
L'équation de la tangente à \mathscr{C}_f au point d'abscisse a est de la forme y=f'\left(a\right)\left(x-a\right)+f\left(a\right).
Donc T a pour équation :
y=f'\left(2\right)\left(x-2\right)+f\left(2\right)
Calculer f'\left(a\right)
f est dérivable sur \mathbb{R} et, pour tout réel x, f'\left(x\right)=-8x
On a donc f'\left(2\right)=-8\times2=-16
Calculer f\left(a\right)
De plus, pour tout réel x, f\left(x\right)=-4x^2+2
On a donc f\left(2\right)=-4\times2^2+2=-4\times4+2=-16+2=-14
Faire l'application numérique
On obtient l'équation de la tangente :
\begin{aligned}\\y&=f'\left(2\right)\left(x-2\right)+f\left(2\right)\\&=-16\left(x-2\right)-14\\&=-16x+32-14\\&=-16x+18\end{aligned}
L'équation de la tangente à \mathscr{C}_f au point d'abscisse 2 est y=-16x+18.
Soit f la fonction définie sur \mathbb{R} par :
f\left(x\right)=x^3+2x
Quelle est l'équation de la tangente T à \mathscr{C}_f au point d'abscisse a = 1 ?
Donner l'équation de la tangente
L'équation de la tangente à \mathscr{C}_f au point d'abscisse a est de la forme y=f'\left(a\right)\left(x-a\right)+f\left(a\right).
Donc T a pour équation :
y=f'\left(1\right)\left(x-1\right)+f\left(1\right)
Calculer f'\left(a\right)
f est dérivable sur \mathbb{R} et, pour tout réel x, f'\left(x\right)=3x^2+2
On a donc f'\left(1\right)=3\times1^2+2\times1=3+2=5
Calculer f\left(a\right)
De plus, pour tout réel x, f\left(x\right)=x^3+2x
On a donc f\left(1\right)=1^3+2\times1=1+2=3
Faire l'application numérique
On obtient l'équation de la tangente :
\begin{aligned}\\y&=f'\left(1\right)\left(x-1\right)+f\left(1\right)\\&=5\left(x-1\right)+3\\&=5x-5+3\\&=5x-2\end{aligned}
L'équation de la tangente à \mathscr{C}_f au point d'abscisse 1 est y=5x-2.
Soit f la fonction définie sur \mathbb{R}/\left\{ 1 \right\} par :
f\left(x\right)=\dfrac{x^2+2}{x-1}
Quelle est l'équation de la tangente T à \mathscr{C}_f au point d'abscisse a = 3 ?
Donner l'équation de la tangente
L'équation de la tangente à \mathscr{C}_f au point d'abscisse a est de la forme y=f'\left(a\right)\left(x-a\right)+f\left(a\right).
Donc T a pour équation :
y=f'\left(3\right)\left(x-3\right)+f\left(3\right)
Calculer f'\left(a\right)
f est dérivable sur tout intervalle inclus dans \mathbb{R}\backslash\left\{ 1 \right\} en tant que fonction rationnelle dont le dénominateur ne s'annule pas sur \mathbb{R}\backslash\left\{ 1 \right\}.
On a f=\dfrac{u}{v} avec, pour tout x appartenant à \mathbb{R}\backslash\left\{ 1 \right\} :
- u\left(x\right)=x^2+2 et u'\left(x\right)=2x
- v\left(x\right)=x-1 et v'\left(x\right)=1
On a donc f'=\dfrac{u'v-uv'}{v^2}
Ainsi, pour tout x appartenant à \mathbb{R}\backslash\left\{ 1 \right\} :
f'\left(x\right)=\dfrac{2x\left(x-1\right)-\left(x^2+2\right)\times1}{\left(x-1\right)^2}
f'\left(x\right)=\dfrac{x^2-2x-2}{\left(x-1\right)^2}
Ainsi on a :
f'\left(3\right)=\dfrac{3^2-2\times3-2}{\left(3-1\right)^2}
f'\left(3\right)=\dfrac{9-6-2}{2^2}
f'\left(3\right)=\dfrac{1}{4}
Calculer f\left(a\right)
De plus, pour tout réel x, f\left(x\right)=\dfrac{x^2+2}{x-1}
On a donc :
f\left(3\right)=\dfrac{3^2+2}{3-1}
f\left(3\right)=\dfrac{11}{2}
Faire l'application numérique
On obtient l'équation de la tangente :
\begin{aligned}\\y&=f'\left(3\right)\left(x-3\right)+f\left(3\right)\\&=\dfrac{1}{4}\left(x-3\right)+\dfrac{11}{2}\\&=\dfrac{1}{4}x-\dfrac{3}{4}+\dfrac{11}{2}\\&=\dfrac{1}{4}x+\dfrac{19}{4}\end{aligned}
L'équation de la tangente à \mathscr{C}_f au point d'abscisse 3 est y=\dfrac{1}{4}x+\dfrac{19}{4}.
Soit f la fonction définie sur \mathbb{R}/\left\{ 0 \right\} par :
f\left(x\right)=\dfrac{3-x^2}{x}
Quelle est l'équation de la tangente T à \mathscr{C}_f au point d'abscisse a = -1 ?
Donner l'équation de la tangente
L'équation de la tangente à \mathscr{C}_f au point d'abscisse a est de la forme y=f'\left(a\right)\left(x-a\right)+f\left(a\right).
Donc T a pour équation :
y=f'\left(-1\right)\left(x+1\right)+f\left(-1\right)
Calculer f'\left(a\right)
f est dérivable sur tout intervalle inclus dans \mathbb{R}\backslash\left\{ 0 \right\} en tant que fonction rationnelle dont le dénominateur ne s'annule pas sur \mathbb{R}\backslash\left\{ 0 \right\}.
On a f=\dfrac{u}{v} avec, pour tout x appartenant à \mathbb{R}\backslash\left\{ 0 \right\} :
- u\left(x\right)=3-x^2 et u'\left(x\right)=-2x
- v\left(x\right)=x et v'\left(x\right)=1
On a donc f'=\dfrac{u'v-uv'}{v^2}
Ainsi, pour tout x appartenant à \mathbb{R}\backslash\left\{ 1 \right\} :
f'\left(x\right)=\dfrac{\left(-2x\right)\left(x\right)-\left(3-x^2\right)\times1}{x^2}
f'\left(x\right)=\dfrac{-2x^2-3+x^2}{x^2}
f'\left(x\right)=\dfrac{-x^2-3}{x^2}
Ainsi on a :
f'\left(3\right)=\dfrac{-\left(-1\right)^2-3}{\left(-1\right)^2}
f'\left(3\right)=-4\\
Calculer f\left(a\right)
De plus, pour tout réel x, f\left(x\right)=\dfrac{3-x^2}{x}
On a donc :
f\left(-1\right)=\dfrac{3-\left(-1\right)^2}{-1}
f\left(-1\right)=-2
Faire l'application numérique
On obtient l'équation de la tangente :
\begin{aligned}\\y&=f'\left(-1\right)\left(x+1\right)+f\left(-1\right)\\&=-4\left(x+1\right)-2\\&=-4x-4-2\\&=-4x-6\\\end{aligned}
L'équation de la tangente à \mathscr{C}_f au point d'abscisse -1 est y=-4x-6.
Soit f la fonction définie sur \mathbb{R} par :
f\left(x\right)=\left(2x^{3}-2\right)\left(x+1\right)
Quelle est l'équation de la tangente T à \mathscr{C}_f au point d'abscisse a = 0 ?
Donner l'équation de la tangente
L'équation de la tangente à \mathscr{C}_f au point d'abscisse a est de la forme y=f'\left(a\right)\left(x-a\right)+f\left(a\right).
Donc T a pour équation :
y=f'\left(0\right)\left(x-0\right)+f\left(0\right)
Calculer f'\left(a\right)
f est dérivable sur \mathbb{R} en tant que produit de fonctions dérivables sur \mathbb{R}.
On a f=u\times v avec, pour tout x appartenant à \mathbb{R} :
- u\left(x\right)=2x^3-2 et u'\left(x\right)=6x^2
- v\left(x\right)=x+1 et v'\left(x\right)=1
On a donc f'=u'v+uv'
Ainsi, pour tout x appartenant à \mathbb{R} :
f'\left(x\right)=6x^2\left(x+1\right)+\left(2x^3-2\right)\times1
f'\left(x\right)=6x^3+6x+2x^3-2
f'\left(x\right)=8x^3+6x-2
Ainsi on a :
f'\left(0\right)=-2
Calculer f\left(a\right)
De plus, pour tout réel x, f\left(x\right)=\left(2x^{3}-2\right)\left(x+1\right)
On a donc :
f\left(0\right)=\left(2\times0^3-2\right)\left(0+1\right)
f\left(0\right)=-2
Faire l'application numérique
On obtient l'équation de la tangente :
\begin{aligned}\\y&=f'\left(0\right)\left(x-0\right)+f\left(0\right)\\&=-2x-2\\\end{aligned}
L'équation de la tangente à \mathscr{C}_f au point d'abscisse 0 est y=-2x-2.