Soit la fonction f définie sur \left[-\dfrac12;+\infty\right[ par f\left(x\right)=\sqrt{2x+1}.
Quelle est la valeur de f'(x) ?
f est dérivable sur \left]-\dfrac12;+\infty\right[.
On pose, pour tout réel x de \left]-\dfrac12;+\infty\right[, u\left(x\right)=2x+1.
u est dérivable sur \left]-\dfrac12;+\infty\right[ et pour tout x de \left]-\dfrac12;+\infty\right[, u'(x) = 2.
f=\sqrt u, donc f'=\dfrac{u'}{2\sqrt u}. Ainsi, pour tout réel x de \left]-\dfrac12;+\infty\right[ :
\begin{aligned}f'\left(x\right)&=\dfrac{2}{2\sqrt{2x+1}}&\\&=\dfrac1{\sqrt{2x+1}}& \end{aligned}
Pour tout x\in\left]-\dfrac12;+\infty\right[, f'\left(x\right)=\dfrac1{\sqrt{2x+1}}
Soit la fonction f définie sur \left]-\infty;\dfrac{5}{4}\right] par f\left(x\right)=\sqrt{-4x+5}.
Quelle est la valeur de f'(x) ?
f est dérivable sur \left]-\infty;\dfrac{5}{4}\right[.
On pose, pour tout réel x de \left]-\infty;\dfrac{5}{4}\right[, u\left(x\right)=-4x+5.
u est dérivable sur \left]-\infty;\dfrac{5}{4}\right[ et pour tout x de \left]-\infty;\dfrac{5}{4}\right[, u'(x) = -4.
f=\sqrt u, donc f'=\dfrac{u'}{2\sqrt u}. Ainsi, pour tout réel x de \left]-\infty;\dfrac{5}{4}\right[ :
\begin{aligned}f'\left(x\right)&=\dfrac{-4}{2\sqrt{-4x+5}}&\\&=-\dfrac{2}{\sqrt{-4x+5}}& \end{aligned}
Pour tout x\in\left]-\infty;\dfrac45\right[, f'\left(x\right)=-\dfrac2{\sqrt{-4x+5}}
Soit la fonction f définie sur \mathbb{R} par f\left(x\right)=\sqrt{x^2+1}.
Quelle est la valeur de f'(x) ?
f est dérivable sur \mathbb{R}.
On pose, pour tout réel x, u\left(x\right)=x^2+1.
u est dérivable sur \mathbb{R} et pour tout réel x, u'(x) = 2x.
f=\sqrt u, donc f'=\dfrac{u'}{2\sqrt u}. Ainsi, pour tout réel x :
\begin{aligned}f'\left(x\right)&=\dfrac{2x}{2\sqrt{x^2+1}}&\\&=\dfrac{x}{\sqrt{x^2+1}}& \end{aligned}
Pour tout x\in\mathbb{R}, f'\left(x\right)=\dfrac{x}{\sqrt{x^2+1}}
Soit la fonction f définie sur \left]-\infty;-\sqrt{\dfrac23}\right]\cup\left[\sqrt{\dfrac23};+\infty\right[ par f\left(x\right)=\sqrt{3x^2-2}.
Quelle est la valeur de f'(x) ?
f est dérivable sur \left]-\infty;-\sqrt{\dfrac23}\right[\cup\left]\sqrt{\dfrac23};+\infty\right[.
On pose, pour tout réel x de \left]-\infty;-\sqrt{\dfrac23}\right[\cup\left]\sqrt{\dfrac23};+\infty\right[, u\left(x\right)=3x^2-2.
u est dérivable sur \left]-\infty;-\sqrt{\dfrac23}\right[\cup\left]\sqrt{\dfrac23};+\infty\right[ et pour tout x de \left]-\infty;-\sqrt{\dfrac23}\right[\cup\left]\sqrt{\dfrac23};+\infty\right[, u'(x) = 6x.
f=\sqrt u, donc f'=\dfrac{u'}{2\sqrt u}. Ainsi, pour tout réel x de \left]-\infty;-\sqrt{\dfrac23}\right[\cup\left]\sqrt{\dfrac23};+\infty\right[ :
\begin{aligned}f'\left(x\right)&=\dfrac{6x}{2\sqrt{3x^2-2}}&\\&=\dfrac{3x}{\sqrt{3x^2-2}}& \end{aligned}
Pour tout x\in\left]-\infty;-\sqrt{\dfrac23}\right[\cup\left]\sqrt{\dfrac23};+\infty\right[, f'\left(x\right)=\dfrac{3x}{\sqrt{3x^2-2}}
Soit la fonction f définie sur \left[\dfrac{\sqrt{5}}5;+\infty\right[ par f\left(x\right)=\sqrt{5x-\sqrt5}.
Quelle est la valeur de f'(x) ?
f est dérivable sur \left]\dfrac{\sqrt{5}}5;+\infty\right[.
On pose, pour tout réel x de \left]\dfrac{\sqrt{5}}5;+\infty\right[, u\left(x\right)=5x-\sqrt5.
u est dérivable sur \left]\dfrac{\sqrt{5}}5;+\infty\right[ et pour tout x de \left]\dfrac{\sqrt{5}}5;+\infty\right[, u'(x) = 5.
f=\sqrt u, donc f'=\dfrac{u'}{2\sqrt u}. Ainsi, pour tout réel x de \left]\dfrac{\sqrt{5}}5;+\infty\right[ :
f'\left(x\right)=\dfrac{5}{2\sqrt{5x-\sqrt5}}
Pour tout x\in\left]\dfrac{\sqrt{5}}5;+\infty\right[, f'\left(x\right)=\dfrac{5}{2\sqrt{5x-\sqrt5}}
Soit la fonction f définie sur \left]-\infty;-\dfrac13\right] par f\left(x\right)=\sqrt{-3x-1}.
Quelle est la valeur de f'(x) ?
f est dérivable sur \left]-\infty;-\dfrac13\right[.
On pose, pour tout réel x de \left]-\infty;-\dfrac13\right[, u\left(x\right)=-3x-1.
u est dérivable sur \left]-\infty;-\dfrac13\right[ et pour tout x de \left]-\infty;-\dfrac13\right[, u'(x) = -3.
f=\sqrt u, donc f'=\dfrac{u'}{2\sqrt u}. Ainsi, pour tout réel x de \left]-\infty;-\dfrac13\right[ :
f'\left(x\right)=-\dfrac{3}{2\sqrt{-3x-1}}
Pour tout x\in\left]-\infty;-\dfrac13\right[, f'\left(x\right)=-\dfrac{3}{2\sqrt{-3x-1}}
Soit la fonction f définie sur \left[1;+\infty\right[ par f\left(x\right)=\sqrt{x-1}.
Quelle est la valeur de f'(x) ?
f est dérivable sur \left]1;+\infty\right[.
On pose, pour tout réel x de \left]1;+\infty\right[, u(x) = x - 1.
u est dérivable sur \left]1;+\infty\right[ et pour tout x de \left]1;+\infty\right[, u'(x) = 1.
f=\sqrt u, donc f'=\dfrac{u'}{2\sqrt u}. Ainsi, pour tout réel x de \left]1;+\infty\right[ :
f'\left(x\right)=\dfrac{1}{2\sqrt{x-1}}
Pour tout x\in\left]1;+\infty\right[, f'\left(x\right)=\dfrac{1}{2\sqrt{x-1}}