Dériver une fonction élevée à une puissance entière Exercice

On pose pour tout nombre réel x, u\left(x\right)=2x-5.

u est dérivable sur \mathbb{R}, et pour tout réel x on a u'\left(x\right)=2

Si f=u^n, alors f'=nu^{n-1}u'.

Ici, f=u^4 donc f'=4u'u^3

Donc pour tout réel x on obtient :

\begin{aligned} \\f'\left(x\right)&= 4\times 2\times \left(2x-5\right)^3\\\\&=8\left(2x-5\right)^3\end{aligned}

On pose pour tout nombre réel x, u\left(x\right)=x^2-1.

u est dérivable sur \mathbb{R}, et pour tout réel x on a u'\left(x\right)=2x

Si f=u^n, alors f'=nu^{n-1}u'.

Ici, f=u^6 donc f'=6u'u^5

Donc pour tout réel x on obtient :

\begin{aligned} \\f'\left(x\right)&= 6\times 2x\times \left(x^2-1\right)^5\\\\&=12x\left(x^2-1\right)^5\end{aligned}

On pose pour tout nombre réel x, u\left(x\right)=\dfrac{x+1}{x-1}.

u est de la forme \dfrac gh, avec g(x) = x + 1 et h(x) = x - 1.

g et h sont dérivables sur \mathbb{R}\backslash\{1\}, et de dérivées g'(x) = 1 et h'(x) = 1.

Ainsi, pour tout réel x différent de 1, on a u'\left(x\right)=\dfrac{x-1-\left(x+1\right)}{\left(x-1\right)^2}=\dfrac{-2}{\left(x-1\right)^2}

Si f=u^n, alors f'=nu^{n-1}u'.

Ici, f=\dfrac13u^2 donc f'=\dfrac23u'u

Donc pour tout réel x différent de 1, on obtient :

\begin{aligned} \\f'\left(x\right)&=\dfrac23\times\dfrac{-2}{\left(x-1\right)^2}\times\dfrac{x+1}{x-1} \\&=-\dfrac{4\left(x+1\right)}{3\left(x-1\right)^3}\end{aligned}

On pose pour tout nombre réel x positif, u\left(x\right)=3-2\sqrt x.

Ainsi, u est dérivable sur \left]0;+\infty\right[, et on a u'\left(x\right)=-\dfrac{1}{\sqrt x}

Si f=u^n, alors f'=nu^{n-1}u'.

Ici, f=u^4 donc f'=4u'u^3

Donc pour tout réel x strictement positif, on obtient :

\begin{aligned} \\f'\left(x\right)&=4\times\left(-\dfrac1{\sqrt x}\right)\times\left(3-2\sqrt x\right)^3 \\&=-\dfrac{4\left(3-2\sqrt x\right)^3}{\sqrt x}\end{aligned}

On pose pour tout nombre réel x, u\left(x\right)=\dfrac{1-x}{x^2+2}.

Ainsi, u est dérivable sur \mathbb{R} comme quotient de fonction dérivables. On a u=\dfrac gh, avec g\left(x\right)=1-x et h\left(x\right)=x^2+2, qui sont dérivables sur \mathbb{R} et de dérivées g'\left(x\right)=-1 et h'\left(x\right)=2x.

Donc :

\begin{aligned}u'\left(x\right)&=\dfrac{g'\left(x\right)h\left(x\right)-g\left(x\right)h'\left(x\right)}{h^2}\\&=\dfrac{-1\left(x^2+2\right)-\left(1-x\right)\times2x}{\left(x^2+2\right)^2}\\&=\dfrac{-x^2-2-2x+2x^2}{\left(x^2+2\right)^2}\\&=\dfrac{x^2-2x-2}{\left(x^2+2\right)^2}\\\end{aligned}

Si f=u^n, alors f'=nu^{n-1}u'.

Ici, f=u^4 donc f'=4u'u^3

Donc pour tout réel x, on obtient :

\begin{aligned} \\f'\left(x\right)&=4\left(\dfrac{x^2-2x-2}{\left(x^2+2\right)^2}\right)\left(\dfrac{1-x}{x^2+2}\right)^3\\&=\dfrac{4\left(x^2-2x-2\right)\left(1-x\right)^3}{\left(x^2+2\right)^5}\end{aligned}

On pose pour tout nombre réel x, u\left(x\right)=3x-5.

Ainsi, u est dérivable sur \mathbb{R} et u'(x) = 3.

Si f=u^n, alors f'=nu^{n-1}u'.

Ici, f=u^{10} donc f'=10u'u^9

Donc pour tout réel x, on obtient :

\begin{aligned} \\f'\left(x\right)&=10\times3\times\left(3x-5\right)^9\\&=30\left(3x-5\right)^9\end{aligned}

On pose pour tout nombre réel x positif, u\left(x\right)=1+3\sqrt x.

Ainsi, u est dérivable sur \left]0;+\infty\right[ et u'\left(x\right)=\dfrac3{2\sqrt x}.

Si f=u^n, alors f'=nu^{n-1}u'.

Ici, f=u^5 donc f'=5u'u^4

Donc pour tout réel x strictement positif, on obtient :

\begin{aligned} \\f'\left(x\right)&=5\times\dfrac3{2\sqrt x}\times\left(1+3\sqrt x\right)^4\\&=\dfrac{15\left(1+3\sqrt x\right)^4}{2\sqrt x}\end{aligned}