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  4. Méthode : Dériver une fonction

Dériver une fonction Méthode

Sommaire

1Préciser le domaine de dérivabilité de f 2Identifier la ou les formule(s) à utiliser 3Exprimer f à l'aide de fonctions intermédiaires 4Exprimer f' à l'aide des fonctions intermédiaires 5Dériver les fonctions intermédiaires 6Calculer f'\left(x\right)

Dériver une fonction est la première étape de toute étude de fonction.

Dériver la fonction f définie sur \mathbb{R}^+ par :

\forall x \in \mathbb{R}^+, f\left(x\right) = \dfrac{x}{\left(1+x\right)^2}

Etape 1

Préciser le domaine de dérivabilité de f

Avant de dériver f, on mentionne que f est dérivable et on précise son domaine de dérivabilité.

En général, f est dérivable en tant que somme, produit, quotient ou composée de fonctions dérivables.

La fonction f est dérivable sur \mathbb{R}^+ en tant que quotient de fonctions dérivables sur \mathbb{R}^+ dont le dénominateur ne s'annule pas.

Etape 2

Identifier la ou les formule(s) à utiliser

Selon la forme de f, on détermine si l'on va utiliser la formule de dérivée d'une somme, d'un produit, d'un quotient, d'une puissance, d'une racine ou d'une composée de fonctions.

Cette étape ne s'écrit pas sur la copie mais fait partie du cheminement de la réflexion à avoir.

On est en présence d'un quotient, ainsi que d'une puissance.

Etape 3

Exprimer f à l'aide de fonctions intermédiaires

On introduit les fonctions intermédiaires dont f est la somme, le produit, le quotient ou la composée.

On introduit autant de fonctions intermédiaires que nécessaire.

On remarque que f= \dfrac{u}{v} avec, pour tout réel x appartenant à \mathbb{R}^+ :

  • u\left(x\right) = x
  • v\left(x\right) = \left(1+x\right)^2
Etape 4

Exprimer f' à l'aide des fonctions intermédiaires

On en déduit l'expression de f' en fonction des fonctions intermédiaires introduites et de leurs dérivées.

On a donc :

f' = \dfrac{u'v-uv'}{v^2}

Etape 5

Dériver les fonctions intermédiaires

On dérive ensuite chacune des fonctions intermédiaires.

On a :

\forall x \in \mathbb{R}^+, u'\left(x\right) = 1

On remarque qu'il faut également utiliser une formule pour dériver la fonction v. On a v= w^2, avec :

\forall x \in \mathbb{R}^+, w\left(x\right) = 1+x

On en déduit :

v' = 2w'w

Sachant que, \forall x \in \mathbb{R}^+, w'\left(x\right) = 1, on en conclut :

\forall x \in \mathbb{R}^+, v' \left(x\right) = 2\times 1 \times \left(1+x\right)= 2\left(1+x\right)

Etape 6

Calculer f'\left(x\right)

On remplace u, v, u', v', etc. par leurs valeurs respectives dans l'expression de f'.

On simplifie le résultat de manière à aboutir à une forme dont on peut facilement déterminer le signe, puisqu'il s'agit généralement de la tâche à effectuer ensuite.

On obtient :

\forall x \in \mathbb{R}^+, f'\left(x\right) = \dfrac{1\times \left(1+x\right)^2-x\times 2\left(1+x\right)}{\left(1+x\right)^4}

Soit :

\forall x \in \mathbb{R}^+, f'\left(x\right) = \dfrac{1+2x+x^2-2x-2x^2 }{\left(1+x\right)^4}

f'\left(x\right) = \dfrac{1-x^2}{\left(1+x\right)^4}

On simplifie l'expression en factorisant le numérateur :

\forall x \in \mathbb{R}^+, f'\left(x\right) = \dfrac{\left(1-x\right)\left(1+x\right)}{\left(1+x\right)^4}

On obtient finalement :

\forall x \in \mathbb{R}^+, f'\left(x\right) = \dfrac{1-x}{\left(1+x\right)^3}

Voir aussi
  • Cours : Dérivation
  • Méthode : Etudier le signe de la fonction dérivée
  • Méthode : Etudier le sens de variation d'une fonction
  • Exercice : Connaître les caractéristiques d'un nombre dérivé
  • Exercice : Calculer le taux de variation d'une fonction entre deux points donnés
  • Exercice : Déterminer si une fonction est dérivable et donner son nombre dérivé en un point donné
  • Exercice : Interpréter un nombre dérivé en fonction du contexte
  • Exercice : Connaître les caractéristiques d'une fonction dérivable
  • Exercice : Connaître la formule de dérivation de la fonction affine
  • Exercice : Connaître la formule de dérivation de la fonction carré
  • Exercice : Connaître la formule de dérivation de la fonction cube
  • Exercice : Connaître la formule de dérivation de la fonction inverse
  • Exercice : Connaître la formule de dérivation de la fonction racine carrée
  • Exercice : Connaître la formule de dérivation de la fonction puissance
  • Exercice : Connaître les formules de dérivation des fonctions affine, carré, cube, inverse, racine carrée et puissance
  • Problème : Démontrer la forme de la dérivée d'une fonction carré
  • Problème : Démontrer la forme de la dérivée d'une fonction inverse
  • Problème : Démontrer que la fonction racine carrée n'est pas dérivable en 0
  • Exercice : Connaître la formule de dérivation de la composition d'une fonction affine par une fonction quelconque
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  • Méthode : Déterminer la position relative d'une courbe et de sa tangente
  • Méthode : Déterminer le signe d'une fonction à partir de son tableau de variations
  • Méthode : Retrouver une tangente particulière
  • Méthode : Obtenir le signe de la dérivée à partir de la représentation graphique de f
  • Méthode : Obtenir le sens de variation de f à partir de la représentation graphique de f'

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