Soit n \in \mathbb{N}.
On cherche à calculer S_n la somme des n premiers carrés, c'est-à-dire :
S_n = \sum_{k=0}^{n} k^2
Soit a \in \mathbb{R}.
Quelle est la forme développée de l'expression suivante ?
(a+1)^3
Pour calculer (a+1)^3), on peut décomposer la puissance en un carré, (a+1)^2, dont on connaît la forme développée grâce aux identités remarquables, et ensuite le multiplier par (a+1) :
(a+1)^3 = (a+1)^{2+1}
(a+1)^3 = (a+1)^2(a+1)
(a+1)^3 = (a^2+2a+1)(a+1)
(a+1)^3 = a^3+a^2+2a^2+2a+a+1
(a+1)^3 = a^3+3a^2+3a+1
La forme développée de l'expression (a+1)^3 est donc :
(a+1)^3 = a^3+3a^2+3a+1
Cette formule est valable pour tout a \in \mathbb{R}.
Soit n \in \mathbb{N} .
On considère les deux sommes L_n et M_n :
L_n = \sum_{k=1}^{n}(k+1)^3
M_n = \sum_{k=1}^{n}(k)^3
Quelle est la différence de ces deux sommes ?
On commence par détailler L_n et M_n afin de mieux comprendre ces sommes :
L_n = 2^3+3^3+4^3+5^3+6^3+...........+n^3+(n+1)^3
M_n = 1^3+2^3+3^3+4^3+5^3+6^3+...........+n^3
On remarque qu'il y seulement deux termes qui diffèrent des deux expressions : le dernier terme de L_n et le premier terme de M_n.
Ainsi, quand on soustrait M_n à L_n, tous les termes présents dans les deux expressions s'annulent.
Il reste donc :
L_n - M_n = (n+1)^3-1
Ce résultat est vrai pour tout n \in \mathbb{N}.
Soit n \in \mathbb{N}.
Quelle est l'expression de la différence (n +1)^3 -1 obtenue en utilisant le développement de (a+1)^3 et L_n - M_n ?
On peut commencer par exprimer (n+1)^3 -1 grâce à L_n et M_n :
(n+1)^3 -1 = L_n - M_n
C'est-à-dire :
(n+1)^3 -1 = \sum_{k=1}^{n}(k+1)^3 - \sum_{k=1}^{n}(k)^3
On cherche à introduire le résultat de la première question, c'est-à-dire l'expression de (a+1)^3.
On retrouve cette expression avec a=k dans L_n.
On peut donc développer L_n :
L_n = \sum_{k=1}^{n}(k+1)^3
L_n = \sum_{k=1}^{n} k^3 +3k^2 +3k +1
On peut séparer L_n en quatre sommes distinctes et revenir à l'expression de (n+1)^3-1.
L_n = \sum_{k=1}^{n} k^3 +3\sum_{k=1}^{n}k^2 +3\sum_{k=1}^{n}k +\sum_{k=1}^{n}1
Donc :
(n+1)^3 -1 = \sum_{k=1}^{n} k^3 +3\sum_{k=1}^{n}k^2 +3\sum_{k=1}^{n}k +\sum_{k=1}^{n}1 - \sum_{k=1}^{n}(k)^3
On remarque que les sommes des cubes s'annulent.
(n+1)^3 -1 = 3\sum_{k=1}^{n}k^2 +3\sum_{k=1}^{n}k +\sum_{k=1}^{n}1
On connaît l'expression de la somme des n premiers entiers :
\sum_{k=1}^{n} k = \frac{n(n+1)}{2}
Et on sait que :
\sum_{k=1}^{n} 1 = n
Pour tout n entier naturel, on a donc :
(n+1)^3-1 = 3\sum_{k=1}^{n}k^2+3\frac{n(n+1)}{2}+ n
Soit n \in \mathbb{N}.
Quelle est la somme S_n des n premiers carrés ?
Grâce à la question précédente, on sait que pour tout n entier naturel :
(n+1)^3-1 = 3S_n+3\frac{n(n+1)}{2}+ n
Il suffit maintenant de réorganiser :
3 S_n = (n+1)^3 -1 - 3\frac{n(n+1)}{2} -n
On développe (n+1)^3 :
3 S_n = n^3+3n^2+3n+1 -1 - 3\frac{n(n+1)}{2} -n
3 S_n = n^3+3n^2+ 2n - 3\frac{n(n+1)}{2}
3 S_n = \frac{2n^3+6n^2+4n-3n(n+1)}{2}
3 S_n = \frac{2n^3+6n^2+4n-3n^2-3n}{2}
3 S_n = \frac{2n^3+3n^2+n}{2}
3 S_n = \frac{n(2n^2+3n+1)}{2}
3 S_n = \frac{n(n+1)(2n+1)}{2}
Finalement :
S_n = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}
Pour tout n entier naturel, la somme S_n des n premiers carrés est donc :
S_n = \frac{1}{6}n(n+1)(2n+1)