Soit \left( u_n\right) une suite arithmétique définie par récurrence : \begin{cases}u_{n_0} \\ \forall n\in \mathbb{N},\, u_{n+1} = u_n + r\end{cases}.
Pour déterminer son sens de variation, on doit étudier le signe de la raison r.
Considérons la suite définie sur \mathbb{N} par u_n=3-4n.
Montrer le sens de variation de la suite u.
Etape 1
Calculer u_{n+1}-u_n
Pour tout entier n, on calcule u_{n+1}-u_n.
u_{n+1}=3-4(n+1)=3-4n-4=-1-4n,
donc u_{n+1}-u_n=-1-4n-(3-4n)=-4
Etape 2
Donner le sens de variation de la suite
Le signe de la différence u_{n+1}-u_n = r entre deux termes consécutifs donne le sens de variation de la suite :
- si r \leq 0, la suite est décroissante
- si r < 0, la suite est strictement décroissante
- si r\geq 0, la suite est croissante
- si r >0, la suite est strictement croissante
- si r = 0, la suite est constante
Ainsi, pour tout n\in\mathbb{N}, u_{n+1}-u_n<0. La suite (u_n)_{n\in\mathbb{N}} est donc strictement décroissante.