Soit n \in \mathbb{N}.
On cherche à calculer S_n la somme des n premiers cubes, c'est-à-dire :
S_n = \sum_{k=0}^{n} k^3
On donne le résultat suivant :
\sum_{k=0}^{n} k^2 = \frac{1}{6}n(n+1)(2n+1)
Soit a \in \mathbb{R}.
Quelle est la forme développée de l'expression suivante ?
(a+1)^4
Pour calculer (a+1)^4), on peut décomposer la puissance en deux carrés, (a+1)^2, dont on connaît la forme développée grâce aux identités remarquables et ensuite les multiplier :
(a+1)^4 = (a+1)^{2+2}
(a+1)^4 = (a+1)^2(a+1)^2
Or :
(a+1)^2= a^2+2a+1
Donc :
(a+1)^4 = (a^2+2a+1)(a^2+2a+1)
(a+1)^4 = a^4+2a^3+a^2+2a^3+4a^2+2a+a^2+2a+1
(a+1)^4 = a^4+4a^3+6a^2+4a+1
La forme développée de l'expression (a+1)^4 est donc :
(a+1)^4 = a^4+4a^3+6a^2+4a+1
Cette formule est valable pour tout a \in \mathbb{R}.
Soit n \in \mathbb{N} .
On considère les deux sommes L_n et M_n :
L_n = \sum_{k=1}^{n}(k+1)^4
M_n = \sum_{k=1}^{n}(k)^4
Quelle est la différence de ces deux sommes ?
On commence par détailler L_n et M_n afin de mieux comprendre ces sommes :
L_n = 2^4+3^4+4^4+5^4+6^4+...........+n^4+(n+1)^4
M_n = 1^4+2^4+3^4+4^3+5^4+6^4+...........+n^4
On remarque qu'il y seulement deux termes qui diffèrent des deux expressions : le dernier terme de L_n et le premier terme de M_n.
Ainsi, quand on soustrait M_n à L_n, tous les termes présents dans les deux expressions s'annulent.
Il reste donc : L_n - M_n = (n+1)^4-1 .
Ce résultat est vrai pour tout n \in \mathbb{N}.
Soit n \in \mathbb{N}.
Quelle est l'expression de la différence (n +1)^4 -1 obtenue en utilisant le développement de (a+1)^4 et L_n - M_n ?
On peut commencer par exprimer (n+1)^4 -1 grâce à L_n et M_n :
(n+1)^4 -1 = L_n - M_n
C'est-à-dire :
(n+1)^4 -1 = \sum_{k=1}^{n}(k+1)^4 - \sum_{k=1}^{n}(k)^4
On cherche à introduire le résultat de la première question, c'est-à-dire l'expression de (a+1)^4.
On retrouve cette expression avec a=k dans L_n.
On peut donc développer L_n :
L_n = \sum_{k=1}^{n}(k+1)^4
L_n = \sum_{k=1}^{n} k^4+4k^3 +6k^2 +4k +1
On peut séparer L_n en quatre sommes distinctes et revenir à l'expression de (n+1)^4-1 :
L_n = \sum_{k=1}^{n} k^4+ 4\sum_{k=1}^{n} k^3 +6\sum_{k=1}^{n}k^2 +4\sum_{k=1}^{n}k +\sum_{k=1}^{n}1
Donc :
(n+1)^4 -1 = \sum_{k=1}^{n} k^4+ 4\sum_{k=1}^{n} k^3 +6\sum_{k=1}^{n}k^2 +4\sum_{k=1}^{n}k +\sum_{k=1}^{n}1 - \sum_{k=1}^{n}(k)^4
On remarque que les sommes des puissances 4 s'annulent :
(n+1)^4 -1 = 4\sum_{k=1}^{n} k^3 + 6\sum_{k=1}^{n}k^2 +4\sum_{k=1}^{n}k +\sum_{k=1}^{n}1
On connaît l'expression de la somme des n premiers entiers :
\sum_{k=1}^{n} k = \frac{n(n+1)}{2}
On sait que :
\sum_{k=1}^{n} 1 = n
La somme des n premiers carrés est donnée dans l'énoncé :
\sum_{k=0}^{n} k^2 = \frac{1}{6}n(n+1)(2n+1)
Donc :
(n+1)^4 -1 = 4\sum_{k=1}^{n}k^3 + n(n+1)(2n+1)+2n(n+1) +n
Pour tout n entier naturel, on a donc :
(n+1)^4-1 = 4\sum_{k=1}^{n}k^3+n(n+1)(2n+1)+2n(n+1)+ n
Soit n \in \mathbb{N}.
Quelle est la somme S_n des n premiers carrés ?
Grâce à la question précédente, on sait que pour tout n entier naturel :
(n+1)^4-1 = 4S_n +n(n+1)(2n+1)+2n(n+1)+ n
Il suffit maintenant de réorganiser :
4 S_n = (n+1)^4 -1 - n(n+1)(2n+1)-2n(n+1) - n
On développe (n+1)^4 :
4 S_n = n^4+4n^3+6n^2+4n+1 -1 - n(n+1)(2n+1)-2n(n+1) - n
4 S_n = n^4+4n^3+6n^2+4n - n(n+1)(2n+1)-2n(n+1) - n
4 S_n = n^4+4n^3+6n^2+3n- n(n+1)(2n+1)-2n(n+1)
4 S_n = n^4+4n^3+6n^2+3n- (n^2+n)(2n+1) - 2n^2-2n
4 S_n = n^4+4n^3+6n^2+3n- 2n^3-n^2-2n^2-n - 2n^2-2n
4 S_n = n^4+2n^3+n^2
4 S_n = n^2(n^2+2n+1)
4 S_n = n^2(n+1)^2
Pour tout n entier naturel, la somme S_n des n premiers cubes est donc :
S_n = \frac{1}{4}n^2(n+1)^2