Soit (u_n) la suite définie par l'algorithme Python suivant :
def u(n):
if n==0 :
return 4
elif (n>=1) and (type(n)==int):
result = u(n-1)+4
return result
else :
return("Vous n'avez pas choisi un entier naturel")
Quelle est la forme explicite du terme général de la suite (u_n) ?
D'après l'algorithme, on a :
\forall n \gt 0, u(n) = u(n-1) + 4 et u_0 = 4
Ainsi (u_n) est bien une suite arithmétique et sa raison est r=4.
On sait que :
\forall n \in \mathbb{N}, u_n=u_0 + nr
Donc :
\forall n \in \mathbb{N}, u_n=4 +4n
Le terme général de la suite (u_n) est donc défini par :
\forall n \in \mathbb{N}, u_n=4 +4n
Quel est le sens de variation de la suite (u_n) ?
La suite (u_n) est une suite arithmétique de raison r=4.
r est donc positif.
La suite (u_n) est donc croissante.
Quelle est la somme des 10 premiers termes de la suite (u_n) ?
La suite (u_n) est une suite arithmétique de terme général :
\forall n \in \mathbb{N},u_n = 4+4n
Alors pour tout n \gt n_0 :
\sum_{n_0}^{n} u_k = \frac{(u_{n_0}+u_n)(n-n_0+1)}{2}
Ici, on a :
n_0 = 0, n=9, u_{n_0}=4
Donc :
\sum_{0}^{16} u_k = \frac{(u_{0}+u_{9})(9-0+1)}{2}
\sum_{0}^{9} u_k = \frac{(4+4+4\times9)10}{2}=\frac{44\times10}{2}
\sum_{0}^{9} u_k = 220
La somme des 10 premiers termes de la suite (u_n) est donc 220.