Soit (u_n) la suite définie par :
\begin{cases} u_0 = 1 \cr \cr \forall n \in \mathbb{N}, u_{n+1} = f(u_n) \end{cases}
avec f la fonction définie par :
f : x \longmapsto x-5
Quelle est la forme explicite du terme général de la suite (u_n) ?
La suite u_n est une suite arithmétique définie par récurrence de raison r=-5.
On sait que :
\forall n \in \mathbb{N}, u_n=u_0 + nr
Or :
u_0 = 1 et r=-5
Donc :
\forall n \in \mathbb{N}, u_n=1 -5n
Le terme général de la suite (u_n) est donc défini par :
\forall n \in \mathbb{N}, u_n=1 -5n
Quel est le sens de variation de la suite (u_n) ?
La suite (u_n) est une suite arithmétique de raison r=-5.
r est donc négatif.
La suite (u_n) est donc décroissante.
Quelle est la somme des 17 premiers termes de la suite (u_n) ?
La suite (u_n) est une suite arithmétique de terme général :
\forall n \in \mathbb{N},u_n = 1-5n
Alors, pour tout n \gt n_0 :
\sum_{n_0}^{n} u_k = \frac{(u_{n_0}+u_n)(n-n_0+1)}{2}
Ici, on a :
n_0 = 0, n=16, u_{n_0}=1
Donc :
\sum_{0}^{16} u_k = \frac{(u_{0}+u_{16})(16-0+1)}{2}
\sum_{0}^{16} u_k = \frac{(1+1-5\times16)17}{2}=\frac{-78\times17}{2}
\sum_{0}^{16} u_k = -663
La somme des 17 premiers termes de la suite (u_n) est donc -663.