On a placé un capital de 100 000€ au 1er janvier 2000 sur un compte rémunéré à 0,75% (taux annuel d'intérêt composés).
On suppose qu'on n'ajoute pas d'argent sur ce compte et que le taux d'intérêt reste fixe.
On note u_n le capital, en euros, sur le compte au 1er janvier de l'année 2000+n.
On arrondira, si nécessaire, les résultats au centième.
Quelles sont les valeurs de u_0 et u_1 ?
u_0=100\;000\\u_1=100\;000\times\left(1+\cfrac{0{,}75}{100}\right)\\u_1=100\;000\times 1{,}0075\\\\u_1=100\;750
u_0=100\;000\text{ et } u_1=100\;750
Quelle est l'expression de u_{n+1} en fonction de u_n ?
Augmenter de 0,75% revient à multiplier par 1,0075.
Ainsi, pour tout entier naturel n, on a :
u_{n+1}=u_n\times1{,}0075
Quelle est l'expression de u_n en fonction de n ?
D'après le résultat précédent, on a pour tout entier naturel n :
u_{n+1}=qu_{n}\text{ avec }q=1{,}0075
La suite \left(u_n\right)_{n\in\mathbb{N}} est donc une suite géométrique de raison q=1{,}0075.
Par conséquence, on a pour tout entier naturel n :
u_n=u_0\times q^n
u_n=100\,000\times \left(1{,}0075\right)^n
Quel est le capital sur le compte au 1er janvier 2020 ?
Le capital sur le compte au 1er janvier 2020 correspond à u_{20}.
Or :
u_{20}=u_0\times q^{20}=100\;000\times \left(1{,}0075\right)^{20}
u_{20}\approx 116\,118{,}41
Le capital sur le compte au 1er janvier 2020 sera d'environ 116 118,41€.
Avec ce taux d'intérêt, à partir de quelle année le capital dépasserait-il 150 000€ ?
u_{54}=100\,000\times\left(1{,}0075\right)^{54}\approx149\,703{,}85\\u_{55}=100\,000\times\left(1{,}0075\right)^{55}\approx150\,826{,}63\\
2\,000+55=2\,055
Le terme u_{55} correspond donc au capital au 1er janvier 2055.
Avec ce taux d'intérêt, le capital commencerait à dépasser les 150 000€ à partir du 1er janvier 2055.