Un objet tombe dans l'eau. La masse volumique de l'eau est notée \rho_e. Le champ de pesanteur est uniforme et son intensité vaut g. La masse de l'objet est notée m et son volume V. On considérera un frottement fluide de la forme \overrightarrow{f}=-\alpha\overrightarrow{v} avec \overrightarrow{v} la vitesse de l'objet.
Quel est le système et le référentiel d'étude ?
Le système est l'objet supposé ponctuel, toute sa masse m est attribuée à son barycentre G. Le référentiel d'étude est le référentiel terrestre supposé galiléen.
Quel est le bilan des forces exercées sur l'objet ?
L'axe des z sera selon la verticale ascendante.
L'expression du poids est :
\overrightarrow{P}=m\overrightarrow{g}
L'expression de la poussée d'Archimède est :
\overrightarrow{P}_A=-m_f\overrightarrow{g}
Avec m_f la masse de fluide déplacé soit m_f=\rho_e V.
D'où : \overrightarrow{P}_A=-\rho_e V \overrightarrow{g}
L'expression du frottement fluide est :
\overrightarrow{f}=-\alpha\overrightarrow{v}
D'où avec \overrightarrow{g}=-g\overrightarrow{k} :
\overrightarrow{P}=-mg\overrightarrow{k}, \overrightarrow{P}_A=\rho_e V g\overrightarrow{k} et \overrightarrow{f}=-\alpha\overrightarrow{v}.
Le bilan des forces vaut : \overrightarrow{P}=-mg\overrightarrow{k}, \overrightarrow{P}_A=\rho_e V g\overrightarrow{k} et \overrightarrow{f}=-\alpha\overrightarrow{v}.
Quelles sont les composantes du vecteur accélération de l'objet ?
D'après la seconde loi de Newton :
\overrightarrow{F}=m \overrightarrow{a}
On a :
-mg\overrightarrow{k}+\rho_e V g\overrightarrow{k}-\alpha v_x\overrightarrow{i}-\alpha v_y\overrightarrow{j}-\alpha v_z\overrightarrow{k}=ma_x \overrightarrow{i}+ma_y \overrightarrow{j}+ma_z \overrightarrow{k}.
D'où :
On projette d'où : a_x=-\dfrac{\alpha}{m}v_x, a_y=-\dfrac{\alpha}{m}v_y et a_z=-g+\dfrac{\rho_e V}{m}g-\dfrac{\alpha}{m}v_z.
Les composantes de l'accélération sont : a_x=-\dfrac{\alpha}{m}v_x, a_y=-\dfrac{\alpha}{m}v_y et a_z=-g+\dfrac{\rho_e V}{m}g-\dfrac{\alpha}{m}v_z.