Une source lumineuse envoie un rayon lumineux dont l'intensité est de 30 candelas à l'arrivée sur un ensemble de plaques contenant un fluide.
Ce fluide atténue la lumière de 10% par plaque.
On note i_n l'intensité lumineuse résultante, en candelas, du rayon lumineux après la traversée de n plaques de ce fluide.
On arrondira les résultats au centième, si nécessaire.
Quels sont les 4 premiers termes de la suite \left(i_n\right) ?
L'intensité initiale est i_0=30.
Diminuer de 10% revient à multiplier par 0,9.
On en déduit :
i_1=i_0\times 0{,}9=30\times 0{,}9=27
i_2=i_1\times 0{,}9=27\times 0{,}9=24{,}3
i_3=i_2\times 0{,}9=24{,}3\times 0{,}9=21{,}87.
Soit n un entier naturel quelconque.
Quelle est l'expression i_{n+1} en fonction de i_n ?
Après la traversée de chaque plaque, l'intensité lumineuse diminue de 10%.
Or dimininuer de 10% revient à multiplier par 0,9.
Ainsi, pour tout entier naturel n, on a :
i_{n+1}=0{,}9\times i_n.
Autrement dit, la suite (i_n) est géométrique de raison 0,9.
Quelle est l'expression de i_n en fonction de n ?
On sait que si une suite (i_n) est géométrique de raison q et de premier terme i_0, alors, on a, pour tout entier naturel n :
i_n=i_0\times q^n.
Ici la suite (i_n) est géométrique de raison q=0{,}9 et de premier terme i_0=30.
On en déduit donc :
i_n=30\times 0{,}9^n.
Quelle est l'intensité lumineuse, en candelas, du rayon après la traversée de 10 plaques ?
L'intensité lumineuse après la travsersée de 10 plaques correspond à i_{10}.
Or i_{10}=30\times 0{,}9^{10}.
On en déduit :
i_{10}\approx 10{,}46.
L'intensité lumineuse après la traversée de 10 plaques est d'environ 10,46 candelas.
Quel est le sens de variation de la suite \left(i_n\right) ?
La suite (i_n) est une suite géométrique de premier terme positif et de raison strictement inférieure à 1.
La suite est donc décroissante.
Après combien de plaques traversées l'intensité lumineuse du rayon est-elle inférieure à 5 candelas pour la première fois ?
On cherche n tel que i_n<5.
Or, pour tout entier naturel n, on a :
i_n=30\times 0{,}9^n.
En calculant les premiers termes de la suite (i_n), on obtient, en arrondissant au millième :
i_{17}\approx 5{,}003
i_{18}\approx 4{,}503
Ainsi i_{17}>5 et i_{18}<5.
La suite étant décroissante, le premier entier n tel que i_{n}<5 est n=18.
L'intensité lumineuse du rayon sera inférieure à 5 candelas pour la première fois après la traversée de 18 plaques.