Sommaire
ILes caractéristiques d'une équationIILa résolution d'équations du premier degréADéfinition d'une équation du premier degré à une inconnueBLes propriétés pour résoudre une équation du premier degré à une inconnueCLa solution d'une équation de type ax=bDLa modélisation d'une situation relevant d'une équationIIILes équations produitsADéfinition d'une équation produitBLa résolution d'une équation produitIVLes équations de la forme x^{2} = aLes caractéristiques d'une équation
Une équation est une égalité contenant au moins une inconnue, c'est-à-dire une lettre qui représente un nombre dans cette équation. Pour qu'un nombre soit solution de cette équation, il faut que l'égalité soit vraie quand on remplace l'inconnue par ce nombre.
Équation
Une équation est une égalité entre deux expressions comportant des lettres représentant des nombres inconnus.
3x+1=2x-4 est une équation.
Une même lettre écrite à plusieurs endroits représente le même nombre et différentes lettres représentent des nombres a priori différents.
Dans l'expression 4x^2+5x, le nombre x est le même chaque fois qu'il est présent.
Dans l'expression 2x+2y-5z, les nombres x, y et z correspondent à des nombres a priori différents.
Résoudre une équation
Résoudre une équation c'est déterminer toutes les valeurs de l'inconnue (ou des inconnues) pour lesquelles l'égalité est vérifiée.
Chacune de ces valeurs est appelée « solution de l'équation ».
Résoudre l'équation 3x+5=7 revient à déterminer toutes les solutions de cette équation.
Cette équation admet une seule solution :
x=\dfrac{2}{3}
On peut dire que l'ensemble des solutions est :
\mathcal{S}=\left\{\dfrac{2}{3}\right\}
La résolution d'équations du premier degré
Pour résoudre une équation, on doit déterminer les solutions de cette équation. Pour ce faire, on peut multiplier ou diviser les membres de cette équation, ou bien leur additionner ou leur soustraire un nombre. Une équation du type ax=b admet une unique solution. Il existe également des situations relevant de la vie courante qu'il est possible de modéliser en équations.
Définition d'une équation du premier degré à une inconnue
Une équation du premier degré à une inconnue est une équation pouvant être ramenée à une équation de la forme ax=b, où x est l'inconnue.
Équation du premier degré à une inconnue
On appelle « équation du premier degré à une inconnue » toute équation pouvant être ramenée à une équation du type ax=b, où x est l'inconnue.
L'équation 9x+5=2x-7 d'inconnue x est une équation du premier degré.
En effet, en retranchant 5 aux deux membres de l'égalité, on obtient :
9x+5\textcolor{red}{-5}=2x-7\textcolor{red}{-5}
Soit :
9x=2x-12
Et en retranchant 2x aux deux membres de l'égalité, on en déduit :
9x\textcolor{red}{-2x}=2x-12\textcolor{red}{-2x}
Soit :
7x=-12
L'équation 9x+5=2x-7 peut être ramenée à une équation du type ax=b.
C'est donc bien une équation du premier degré.
Les propriétés pour résoudre une équation du premier degré à une inconnue
Une égalité reste vraie quand on multiplie par un même nombre non nul les deux membres de l'égalité.
On considère l'équation suivante :
3x+3=x-2
On peut multiplier les deux membres de l'égalité par 4 :
\textcolor{Red}{4}\times\left(3x+3\right)=\textcolor{Red}{4}\times\left(x-2\right)
Soit :
12x+12=4x-8
Une égalité reste vraie quand on divise par un même nombre non nul les deux membres de l'égalité.
On considère l'équation suivante :
12x+12=4x-8
On peut diviser les deux membres de l'égalité par 2 :
(12x+12)\textcolor{Red}{\div2}=(4x-8)\textcolor{Red}{\div2}
Soit :
6x+6=2x-4
Une égalité reste vraie quand on ajoute un même nombre aux deux membres de l'égalité.
On considère l'équation suivante :
3x+1=x-4
On peut ajouter 2 aux deux membres de l'égalité :
3x+1\textcolor{Red}{+2}=x-4\textcolor{Red}{+2}
Soit :
3x+3=x-2
Une égalité reste vraie quand on soustrait un même nombre aux deux membres de l'égalité.
On considère l'équation suivante :
3x+3=x-2
On peut soustraire 2x aux deux membres de l'égalité :
3x+3\textcolor{Red}{-2x}=x-2\textcolor{Red}{-2x}
Soit :
x+3=-x-2
La solution d'une équation de type ax=b
Les équations de type ax=b admettent une unique solution : x=\dfrac{b}{a}.
Soient a et b deux nombres connus, avec a\neq0.
L'équation ax=b d'inconnue x admet une unique solution :
x =\dfrac{b}{a}
L'équation 7x=15 admet pour unique solution x=\dfrac{15}{7}.
Pour résoudre une équation du premier degré à une inconnue x, on la ramène à une équation du type ax=b, puis on utilise la dernière propriété ci-dessus.
On effectue ensuite une vérification pour pouvoir conclure.
Soit un nombre x.
On considère l'équation suivante :
8x+6=-5x+26
On calcule :
8x+6\textcolor{red}{+5x}=-5x+26\textcolor{red}{+5x}
13x+6=26
13x+6\textcolor{red}{-6}=26\textcolor{red}{-6}
13x=20
x=\dfrac{20}{13}
On vient de montrer que si x est solution de l'équation de départ, alors x=\dfrac{20}{13}.
Il faut vérifier que ce nombre est bien solution de l'équation de départ pour pouvoir conclure.
En remplaçant x par \dfrac{20}{13}, on obtient :
8x+6=8\times \dfrac{20}{13}+6=\dfrac{238}{13}
Et on a :
-5x+26=-5\times \dfrac{20}{13}+26=\dfrac{238}{13}
Le nombre \dfrac{20}{13} est bien solution de l'équation de départ.
L'équation admet donc une unique solution : \dfrac{20}{13}.
La vérification effectuée à la fin de l'exemple précédent a pour but de terminer le raisonnement.
Avant la vérification, on a montré que :
- Si x est solution de l'équation, alors x=\dfrac{20}{13}.
La vérification permet de montrer que :
- Si x=\dfrac{20}{13}, alors x est solution de l'équation.
On a ainsi la certitude que la seule solution de l'équation est celle que l'on a obtenue.
Il est parfois utile de développer l'expression d'au moins un des membres de l'égalité pour ramener l'équation à une équation du type ax=b.
Soit l'équation suivante d'inconnue x :
-3\left(2x-6\right)+12=-6-4\left(x+1\right)
On développe chaque membre :
-6x+18+12=-6-4x-4
On regroupe les termes contenant x dans le membre de gauche et les termes constants dans le membre de droite.
Pour cela, dans chaque membre, on effectue les opérations suivantes :
- On ajoute 4x.
- On soustrait 18 et 12.
On obtient ainsi :
-6x+4x=-6-4-18-12
On réduit ensuite chaque membre :
-2x=-40
On a bien ramené l'équation de départ à une équation du type ax=b.
La modélisation d'une situation relevant d'une équation
Il est possible de modéliser une situation relevant d'une équation. Cette modélisation se réalise en quatre étapes.
On peut modéliser une situation relevant d'une équation :
- On choisit l'inconnue x en fonction de ce que l'on recherche.
- On traduit les données de l'énoncé par une équation.
- On résout l'équation.
- On interprète le résultat.
Le père de Paul a le double de l'âge de Paul, et 3 ans de plus que la mère de Paul.
On sait que la somme des âges des parents de Paul est égale à 123 ans.
Quel est l'âge de Paul ?
On appelle x l'âge de Paul.
D'après l'énoncé :
- L'âge du père de Paul est 2x.
- L'âge de la mère de Paul est 2x-3.
- La somme des âges des parents de Paul est égale à 123 ans, soit : 2x+\left(2x-3\right)=123.
On résout cette équation du premier degré :
2x+\left(2x-3\right)=123
4x-3=123
4x=126
x=\dfrac{126}{4}=31{,}5
On effectue la vérification suivante :
Si x=31{,}5, alors :
2x+(2x-3)=2\times 31{,}5+(2\times 31{,}5-3)=63+(63-3)=63+60=123
L'équation 2x+(2x+3)=123 admet pour seule solution 31,5.
Paul a donc 31,5 ans.
Les équations produits
Les équations produits s'écrivent sous la forme d'un produit de facteurs premiers égal à 0. Cela veut dire que l'un au moins des facteurs est nul. La résolution peut se ramener à la résolution de deux équations du premier degré, c'est le cas des équations d'inconnue x du type (ax+b)(cx+d)=0.
Définition d'une équation produit
Une équation produit est une équation écrite sous la forme d'un produit d'expressions égal à 0.
Équation produit
On appelle « équation produit nul » toute équation écrite sous la forme d'un produit d'expressions égal à 0.
L'équation \left(2x-1\right)\left(x+5\right)=0 de l'exemple précédent est une équation produit.
On a bien un produit de deux expressions égal à 0.
La résolution d'une équation produit
Résoudre une équation produit revient à résoudre deux équations de type (ax+b)(cx+d)=0. Une équation produit a deux solutions.
Un produit de facteurs est nul à condition que l'un au moins des facteurs soit nul.
On considère l'équation suivante :
\left(2x-1\right)\left(x+5\right)=0
Un produit de facteurs est nul à condition que l'un des facteurs au moins soit nul.
Ainsi on a :
2x-1=0
Ou :
x+5=0
La première équation a pour unique solution x=\dfrac{1}{2}.
La deuxième équation a pour unique solution x=-5.
Les solutions de l'équation sont donc \dfrac12 et -5.
En factorisant, certaines équations peuvent se ramener à une équation produit.
On veut résoudre l'équation suivante d'inconnue x :
\left(x + 1\right)^{2} - 4 = 0
\left(x + 1\right)^{2} - 2^{2} = 0
On factorise le membre de gauche à l'aide de la formule a^{2} - b^{2} = \left(a + b\right) \left(a - b\right) qui est valable pour tous nombres a et b :
\left(x + 1 + 2\right) \left(x + 1 - 2\right) = 0
\left(x + 3\right) \left(x - 1\right) = 0
On obtient une équation produit.
L'un des deux facteurs est nécessairement nul.
Le membre de gauche est nul à condition que x + 3 = 0 ou que x - 1 = 0, c'est-à-dire à condition que x = - 3 ou que x = 1.
Les solutions de l'équation sont donc -3 et 1.
Les équations de la forme x^{2} = a
En fonction de la valeur du nombre a, les équations de type x^2=a admettent une ou deux solutions, ou bien n'admettent aucune solution.
Soit a un nombre tel que a \gt 0.
L'équation x^{2} = a, d'inconnue x, admet deux solutions :
x=\sqrt{a} et x=-\sqrt{a}
L'équation x^2=81 admet deux solutions : x=9 et x=-9.
Soit a un nombre tel que a \lt 0.
L'équation x^{2} = a, d'inconnue x, n'admet aucune solution.
L'équation x^2=-12 n'a pas de solution car -12\lt0.
Soit a un nombre tel que a = 0.
L'équation x^{2} = a, d'inconnue x, admet une solution :
x=0
Lorsque a\geq0, il est possible de ramener une équation du type x^2=a à une équation produit.
On considère l'équation :
x^2=81
On soustrait 81 à chaque membre :
x^2-81=0
x^2-9^2=0
On factorise le membre de gauche en utilisant la formule a^{2} - b^{2} = \left(a - b\right) \left(a + b\right) valable pour tous nombres a et b :
\left(x-9\right)\left(x+9\right)=0
On a bien ramené l'équation de départ à une équation produit que l'on sait résoudre grâce aux propriétés précédentes.