Dans une ferme, deux agriculteurs possèdent des terrains adjacents de même superficie.
Le terrain du premier agriculteur est un carré de côté x , celui du second est un triangle rectangle de côtés x m et 100 m.
Quelles sont les dimensions des terrains ?
Comment s'exprime l'aire d'un carré de côté x ?
L'aire d'un carré est le carré de la longueur d'un côté.
Si l'on note x la longueur du carré, alors l'aire vaut x^2 .
Comment s'exprime l'aire d'un triangle rectangle dont les côtés de l'angle droit mesurent x et 100 ?
L'aire d'un triangle rectangle se calcule en fonction de la base et de la hauteur :
A = \dfrac{\text{base} \times \text{hauteur}}{2}
Dans ce cas, en choisissant comme base le côté de longueur \( 100 m, la hauteur associée correspond au côté de longueur x m.
Ainsi, l'aire du triangle rectangle est :
\dfrac{100x}{2}
Quelle équation traduit le fait que les superficies des deux terrains sont identiques ?
Les superficies des terrains sont identiques. Ainsi, l'aire du carré est la même que l'aire du triangle.
Or, l'aire du carré vaut x^2 et l'aire du triangle vaut \dfrac{100x}{2} .
On en déduit donc que :
x^2 = \dfrac{100x}{2}
Quelles sont les dimensions des terrains des agriculteurs ?
L'équation qui permet de trouver la longueur x du carré est :
x^2 = \dfrac{100x}{2}
En passant tout dans le membre de gauche, on obtient :
x^2 = \dfrac{100x}{2} \Leftrightarrow x^2 - \dfrac{100x}{2}=0
En factorisant par x , on a :
x^2 = \dfrac{100x}{2}
\Leftrightarrow x \left(x - \dfrac{100}{2} \right) = 0
\Leftrightarrow x \left(x - 50 \right) = 0
Si un produit de facteurs est nul, alors l'un au moins des facteurs est nul.
x^2 = \dfrac{100x}{2} \Leftrightarrow x = 0 ou x = 50
La longueur x ne peut pas être nulle.
Ainsi, la longueur du carré est de 50 m.