Quelle est la valeur de \cos\left(\dfrac{7\pi}{12}\right) ?
On peut écrire \dfrac{7\pi}{12} comme une somme de deux angles de référence :
\dfrac{7\pi}{12} = \dfrac{4\pi}{12} + \dfrac{3\pi}{12}=\dfrac{\pi}{3} + \dfrac{\pi}{4}
On a donc :
\cos\left(\dfrac{7\pi}{12}\right) = \cos\left(\dfrac{\pi}{3}+\dfrac{\pi}{4}\right)
On applique la formule d'addition :
\cos\left(a+b\right) = \cos\left(a\right)\cos\left(b\right)-\sin\left(a\right)\sin\left(b\right)
On obtient :
\cos\left(\dfrac{7\pi}{12}\right) = \cos\left(\dfrac{\pi}{3}\right)\cos\left(\dfrac{\pi}{4}\right)-\sin\left(\dfrac{\pi}{3}\right)\sin\left(\dfrac{\pi}{4}\right)
Or on sait que :
- cos\left( \dfrac{\pi}{3} \right)=\dfrac{1}{2}
- cos\left( \dfrac{\pi}{4} \right)=\dfrac{\sqrt{2}}{2}
- sin\left( \dfrac{\pi}{3} \right)=\dfrac{\sqrt{3}}{2}
- \sin\left( \dfrac{\pi}{4} \right)=\dfrac{\sqrt{2}}{2}
On obtient donc :
\cos\left(\dfrac{7\pi}{12}\right) = \dfrac{1}{2} \times \dfrac{\sqrt{2}}{2} - \dfrac{\sqrt{3}}{2} \times \dfrac{\sqrt{2}}{2}
\cos\left(\dfrac{7\pi}{12}\right) = \dfrac{\sqrt{2}\left(1-\sqrt{3}\right)}{4}
Finalement :
\cos\left(\dfrac{7\pi}{12}\right) = \dfrac{\sqrt{2}-\sqrt{6}}{4}
Quelle est la valeur de \cos\left(\dfrac{\pi}{12}\right) ?
On peut écrire \dfrac{\pi}{12} comme une somme de deux angles de référence :
\dfrac{\pi}{12} = \dfrac{4\pi}{12} - \dfrac{3\pi}{12}=\dfrac{\pi}{3} - \dfrac{\pi}{4}
On a donc :
\cos\left(\dfrac{\pi}{12}\right) = \cos\left(\dfrac{\pi}{3}-\dfrac{\pi}{4}\right)
On applique la formule d'addition :
\cos\left(a-b\right) = \cos\left(a\right)\cos\left(b\right)+\sin\left(a\right)\sin\left(b\right)
On obtient :
\cos\left(\dfrac{\pi}{12}\right) = \cos\left(\dfrac{\pi}{3}\right)\cos\left(\dfrac{\pi}{4}\right)+\sin\left(\dfrac{\pi}{3}\right)\sin\left(\dfrac{\pi}{4}\right)
Or on sait que :
- cos\left( \dfrac{\pi}{3} \right)=\dfrac{1}{2}
- cos\left( \dfrac{\pi}{4} \right)=\dfrac{\sqrt{2}}{2}
- sin\left( \dfrac{\pi}{3} \right)=\dfrac{\sqrt{3}}{2}
- \sin\left( \dfrac{\pi}{4} \right)=\dfrac{\sqrt{2}}{2}
On obtient donc :
\cos\left(\dfrac{\pi}{12}\right) = \dfrac{1}{2} \times \dfrac{\sqrt{2}}{2} + \dfrac{\sqrt{3}}{2} \times \dfrac{\sqrt{2}}{2}
\cos\left(\dfrac{\pi}{12}\right) = \dfrac{\sqrt{2}\left(1+\sqrt{3}\right)}{4}
Finalement :
\cos\left(\dfrac{\pi}{12}\right) = \dfrac{\sqrt{2}+\sqrt{6}}{4}
Quelle est la valeur de \cos\left(\dfrac{13\pi}{12}\right) ?
On peut écrire \dfrac{13\pi}{12} comme une somme de deux angles de référence :
\dfrac{13\pi}{12} = \dfrac{9\pi}{12} + \dfrac{4\pi}{12}=\dfrac{3\pi}{4} + \dfrac{\pi}{3}
On a donc :
\cos\left(\dfrac{13\pi}{12}\right) = \cos\left(\dfrac{3\pi}{4}+\dfrac{\pi}{3}\right)
On applique la formule d'addition :
\cos\left(a+b\right) = \cos\left(a\right)\cos\left(b\right)-\sin\left(a\right)\sin\left(b\right)
On obtient :
\cos\left(\dfrac{13\pi}{12}\right) = \cos\left(\dfrac{3\pi}{4}\right)\cos\left(\dfrac{\pi}{3}\right)-\sin\left(\dfrac{3\pi}{4}\right)\sin\left(\dfrac{\pi}{3}\right)
Or on sait que :
- cos\left( \dfrac{3\pi}{4} \right)=-\dfrac{\sqrt{2}}{2}
- cos\left( \dfrac{\pi}{3} \right)=\dfrac{1}{2}
- sin\left( \dfrac{3\pi}{4} \right)=\dfrac{\sqrt{2}}{2}
- \sin\left( \dfrac{\pi}{3} \right)=\dfrac{\sqrt{3}}{2}
On obtient donc :
\cos\left(\dfrac{13\pi}{12}\right) =- \dfrac{\sqrt{2}}{2} \times \dfrac{\sqrt{3}}{2} - \dfrac{\sqrt2}{2} \times \dfrac{\sqrt{1}}{2}
\cos\left(\dfrac{13\pi}{12}\right) = \dfrac{-\sqrt{2}\left(\sqrt{3}+1\right)}{4}
Finalement :
\cos\left(\dfrac{13\pi}{12}\right) = -\dfrac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}
Quelle est la valeur de \sin\left(\dfrac{7\pi}{12}\right) ?
On peut écrire \dfrac{7\pi}{12} comme une somme de deux angles de référence :
\dfrac{7\pi}{12} = \dfrac{4\pi}{12} + \dfrac{3\pi}{12}=\dfrac{\pi}{3} + \dfrac{\pi}{4}
On a donc :
\sin\left(\dfrac{7\pi}{12}\right) = \sin\left(\dfrac{\pi}{3}+\dfrac{\pi}{4}\right)
On applique la formule d'addition :
\sin\left(a+b\right) = \sin\left(a\right)\cos\left(b\right)+\cos\left(a\right)\sin\left(b\right)
On obtient :
\sin\left(\dfrac{7\pi}{12}\right) = \sin\left(\dfrac{\pi}{3}\right)\cos\left(\dfrac{\pi}{4}\right)+\cos\left(\dfrac{\pi}{3}\right)\sin\left(\dfrac{\pi}{4}\right)
Or on sait que :
- cos\left( \dfrac{\pi}{3} \right)=\dfrac{1}{2}
- cos\left( \dfrac{\pi}{4} \right)=\dfrac{\sqrt{2}}{2}
- sin\left( \dfrac{\pi}{3} \right)=\dfrac{\sqrt{3}}{2}
- \sin\left( \dfrac{\pi}{4} \right)=\dfrac{\sqrt{2}}{2}
On obtient donc :
\sin\left(\dfrac{7\pi}{12}\right) = \dfrac{\sqrt 3}{2} \times \dfrac{\sqrt{2}}{2} + \dfrac{1}{2} \times \dfrac{\sqrt{2}}{2}
\sin\left(\dfrac{7\pi}{12}\right) = \dfrac{\sqrt{2}\left(\sqrt{3}+1\right)}{4}
Finalement :
\sin\left(\dfrac{7\pi}{12}\right) = \dfrac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}
Quelle est la valeur de \sin\left(\dfrac{11\pi}{12}\right) ?
On peut écrire \dfrac{11\pi}{12} comme une somme de deux angles de référence :
\dfrac{11\pi}{12} = \dfrac{8\pi}{12} + \dfrac{3\pi}{12}=\dfrac{2\pi}{3} + \dfrac{\pi}{4}
On a donc :
\sin\left(\dfrac{11\pi}{12}\right) = \sin\left(\dfrac{2\pi}{3}+\dfrac{\pi}{4}\right)
On applique la formule d'addition :
\sin\left(a+b\right) = \sin\left(a\right)\cos\left(b\right)+\cos\left(a\right)\sin\left(b\right)
On obtient :
\sin\left(\dfrac{11\pi}{12}\right) = \sin\left(\dfrac{2\pi}{3}\right)\cos\left(\dfrac{\pi}{4}\right)+\cos\left(\dfrac{2\pi}{3}\right)\sin\left(\dfrac{\pi}{4}\right)
Or on sait que :
- cos\left( \dfrac{2\pi}{3} \right)=-\dfrac{1}{2}
- cos\left( \dfrac{\pi}{4} \right)=\dfrac{\sqrt{2}}{2}
- sin\left( \dfrac{2\pi}{3} \right)=\dfrac{\sqrt{3}}{2}
- \sin\left( \dfrac{\pi}{4} \right)=\dfrac{\sqrt{2}}{2}
On obtient donc :
\sin\left(\dfrac{11\pi}{12}\right) = \dfrac{\sqrt{3}}{2} \times \dfrac{\sqrt{2}}{2} - \dfrac{1}{2} \times \dfrac{\sqrt{2}}{2}
\sin\left(\dfrac{11\pi}{12}\right) = \dfrac{\sqrt{2}\left(\sqrt{3}-1\right)}{4}
Finalement :
\sin\left(\dfrac{11\pi}{12}\right) = \dfrac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4}
Quelle est la valeur de \sin\left(-\dfrac{\pi}{12}\right) ?
On peut écrire -\dfrac{\pi}{12} comme une somme de deux angles de référence :
-\dfrac{\pi}{12} = \dfrac{-4\pi}{12} + \dfrac{3\pi}{12}=\dfrac{\pi}{4}-\dfrac{\pi}{3}
On a donc :
\sin\left(-\dfrac{\pi}{12}\right) = \sin\left(\dfrac{\pi}{4}-\dfrac{\pi}{3}\right)
On applique la formule d'addition :
\sin\left(a-b\right) = \sin\left(a\right)\cos\left(b\right)-\cos\left(a\right)\sin\left(b\right)
On obtient :
\sin\left(-\dfrac{\pi}{12}\right) = \sin\left(\dfrac{\pi}{4}\right)\cos\left(\dfrac{\pi}{3}\right)-\cos\left(\dfrac{\pi}{4}\right)\sin\left(\dfrac{\pi}{3}\right)
Or on sait que :
- cos\left( \dfrac{\pi}{3} \right)=\dfrac{1}{2}
- cos\left( \dfrac{\pi}{4} \right)=\dfrac{\sqrt{2}}{2}
- sin\left( \dfrac{\pi}{3} \right)=\dfrac{\sqrt{3}}{2}
- \sin\left( \dfrac{\pi}{4} \right)=\dfrac{\sqrt{2}}{2}
On obtient donc :
\sin\left(-\dfrac{\pi}{12}\right) = \dfrac{\sqrt{2}}{2}\times \dfrac{1}{2} -\dfrac{\sqrt {2}}{2} \times \dfrac{\sqrt{3}}{2}
\sin\left(-\dfrac{\pi}{12}\right) = \dfrac{\sqrt{2}\left(1-\sqrt{3}\right)}{4}
Finalement :
\sin\left(-\dfrac{\pi}{12}\right) = \dfrac{\sqrt{2}-\sqrt{6}}{4}
Quelle est la valeur de \sin\left(\dfrac{5\pi}{12}\right) ?
On peut écrire \dfrac{5\pi}{12} comme une somme de deux angles de référence :
\dfrac{5\pi}{12} = \dfrac{3\pi}{12} + \dfrac{2\pi}{12}=\dfrac{\pi}{4} + \dfrac{\pi}{6}
On a donc :
\sin\left(\dfrac{5\pi}{12}\right) = \sin\left(\dfrac{\pi}{4}+\dfrac{\pi}{6}\right)
On applique la formule d'addition :
\sin\left(a+b\right) = \sin\left(a\right)\cos\left(b\right)+\sin\left(b\right)\cos\left(a\right)
On obtient :
\sin\left(\dfrac{5\pi}{12}\right) = \sin\left(\dfrac{\pi}{4}\right)\cos\left(\dfrac{\pi}{6}\right)+\sin\left(\dfrac{\pi}{6}\right)\cos\left(\dfrac{\pi}{4}\right)
Or on sait que :
- sin\left( \dfrac{\pi}{4} \right)=\dfrac{\sqrt{2}}{2}
- cos\left( \dfrac{\pi}{4} \right)=\dfrac{\sqrt{2}}{2}
- cos\left( \dfrac{\pi}{6} \right)=\dfrac{\sqrt{3}}{2}
- sin\left( \dfrac{\pi}{6} \right)=\dfrac{1}{2}
On obtient donc :
\sin\left(\dfrac{5\pi}{12}\right) = \dfrac{\sqrt{2}}{2} \times \dfrac{\sqrt{3}}{2} + \dfrac{1}{2} \times \dfrac{\sqrt{2}}{2}
\sin\left(\dfrac{5\pi}{12}\right) = \dfrac{\sqrt{2}\left(\sqrt{3}+1\right)}{4}
Finalement :
\sin\left(\dfrac{5\pi}{12}\right) = \dfrac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}