Soit x\in\left[ 0,\dfrac{\pi}{2} \right] . On sait que \sin\left(x\right)=\dfrac{1+\sqrt{3}}{3}.
Quelle est la valeur de \cos\left(x\right) ?
On sait que pour tout réel x : \cos^2\left(x\right) + \sin^2\left(x\right) = 1. On a donc :
\cos^2\left(x\right) = 1 -\sin^2\left(x\right).
Or \sin\left(x\right) = \dfrac{1+\sqrt{3}}{3}. On obtient donc :
\begin{aligned}\cos^2\left(x\right) &= 1 - \left( \dfrac{1+\sqrt{3}}{3}\right)^2 \\ &= 1 - \dfrac{1+2\sqrt{3}+3}{9} \\ &= \dfrac{9-1-2\sqrt{3}-3}{9} \\ &= \dfrac{5-2\sqrt{3}}{9}\end{aligned}
Ainsi, \cos\left(x\right) = \dfrac{\sqrt{{5-2\sqrt{3}}}}{3} ou \cos\left(x\right) = -\dfrac{\sqrt{{5-2\sqrt{3}}}}{3}.
Or on sait que x \in \left[ 0, \dfrac{\pi}{2} \right], donc \cos\left(x\right)\geqslant0.
Ainsi, \cos\left(x\right) ne peut pas valoir -\dfrac{\sqrt{{5-2\sqrt{3}}}}{3} car ce nombre est négatif.
On obtient donc \cos\left(x\right) = \dfrac{\sqrt{{5-2\sqrt{3}}}}{3}.
Soit x\in\left[ -\pi,0 \right] . On sait que \cos\left(x\right)=\dfrac{\sqrt{17}-3}{4} ?
Quelle est la valeur de \sin\left(x\right) ?
On sait que pour tout réel x : \cos^2\left(x\right) + \sin^2\left(x\right) = 1. On a donc :
\sin^2\left(x\right) = 1 -\cos^2\left(x\right).
Or \cos\left(x\right) = \dfrac{\sqrt{17}-3}{4}. On obtient donc :
\begin{aligned}\sin^2\left(x\right) &= 1 - \left( \dfrac{\sqrt{17}-3}{4}\right)^2 \\ &= 1 - \dfrac{17-6\sqrt{17}+9}{16} \\ &= \dfrac{16-17+6\sqrt{17}-9}{16} \\ &= \dfrac{-10+6\sqrt{17}}{16} \\ &=\dfrac{-5+3\sqrt{17}}{8}\\ & \end{aligned}
Ainsi, \sin\left(x\right) = \dfrac{\sqrt{-5+3\sqrt{17}}}{2\sqrt{2}} ou \sin\left(x\right) = -\dfrac{\sqrt{-5+3\sqrt{17}}}{2\sqrt{2}}.
Or on sait que x \in \left[ -\pi,0\right], donc \sin\left(x\right)\leqslant0.
Ainsi, \sin\left(x\right) ne peut pas valoir \dfrac{\sqrt{-5+3\sqrt{17}}}{2\sqrt{2}} car ce nombre est positif.
On obtient donc \sin\left(x\right) = -\dfrac{\sqrt{-5+3\sqrt{17}}}{2\sqrt{2}}.
Soit x\in\left[ \dfrac{\pi}{2},\pi\right] . On sait que \sin\left(x\right)=\dfrac{1}{3}.
Quelle est la valeur de \cos\left(x\right) ?
On sait que pour tout réel x : \cos^2\left(x\right) + \sin^2\left(x\right) = 1. On a donc :
\cos^2\left(x\right) = 1 -\sin^2\left(x\right).
Or \sin\left(x\right) = \dfrac{1}{3}. On obtient donc :
\begin{aligned}\cos^2\left(x\right) &= 1 - \left( \dfrac{1}{3}\right)^2 \\ &= 1 - \dfrac{1}{9} \\ &= \dfrac{8}{9} \end{aligned}
Ainsi, \cos\left(x\right) = \dfrac{2\sqrt{2}}{3} ou \cos\left(x\right) = -\dfrac{2\sqrt{2}}{3}.
Or on sait que x \in \left[ \dfrac{\pi}{2},\pi\right], donc \cos\left(x\right)\leqslant0.
Ainsi, \cos\left(x\right) ne peut pas valoir \dfrac{2\sqrt{2}}{3} car ce nombre est positif.
On obtient donc \cos\left(x\right) = -\dfrac{2\sqrt{2}}{3}.
Soit x\in\left[ 0,\dfrac{\pi}{2} \right] . On sait que \cos\left(x\right)=\dfrac{\sqrt{2+\sqrt{2}}}{2}.
Quelle est la valeur de \sin\left(x\right) ?
On sait que pour tout réel x : \cos^2\left(x\right) + \sin^2\left(x\right) = 1. On a donc :
\sin^2\left(x\right) = 1 -\cos^2\left(x\right).
Or \cos\left(x\right) = \dfrac{\sqrt{2+\sqrt{2}}}{2}. On obtient donc :
\begin{aligned}\sin^2\left(x\right) &= 1 - \left(\dfrac{\sqrt{2+\sqrt{2}}}{2}\right)^2 \\ &= 1 - \dfrac{2+\sqrt{2}}{4} \\ &= \dfrac{4-2-\sqrt{2}}{4} \\ &= \dfrac{2-\sqrt{2}}{4} \end{aligned}
Ainsi, \sin\left(x\right) = \dfrac{\sqrt{2-\sqrt{2}}}{2} ou \sin\left(x\right) = -\dfrac{\sqrt{2-\sqrt{2}}}{2}.
Or on sait que x \in \left[0,\dfrac{\pi}{2}\right], donc \sin\left(x\right)\geqslant0.
Ainsi, \sin\left(x\right) ne peut pas valoir -\dfrac{\sqrt{2-\sqrt{2}}}{2} car ce nombre est négatif.
On obtient donc \sin\left(x\right) = \dfrac{\sqrt{2-\sqrt{2}}}{2}.
Soit x\in\left[ -\pi,-\dfrac{\pi}{2} \right] . On sait que \sin\left(x\right)=-\dfrac{7}{8}.
Quelle est la valeur de \cos\left(x\right) ?
On sait que pour tout réel x : \cos^2\left(x\right) + \sin^2\left(x\right) = 1. On a donc :
\cos^2\left(x\right) = 1 -\sin^2\left(x\right).
Or \sin\left(x\right)=-\dfrac{7}{8}. On obtient donc :
\begin{aligned}\cos^2\left(x\right) &= = 1 - \left( -\dfrac{7}{8}\right)^2 \\ &= 1 - \dfrac{49}{64} \\ &= \dfrac{64-49}{64} \\ &= \dfrac{15}{64} \end{aligned}
Ainsi, \cos\left(x\right) = \dfrac{\sqrt{15}}{8} ou \cos\left(x\right) = -\dfrac{\sqrt{15}}{8}.
Or on sait que x \in \left[ -\pi,-\dfrac{\pi}{2}\right], donc \cos\left(x\right)\leqslant0.
Ainsi, \cos\left(x\right) ne peut pas valoir \dfrac{\sqrt{15}}{8} car ce nombre est positif.
On obtient donc \cos\left(x\right) = -\dfrac{\sqrt{15}}{8}.
Soit x\in\left[ -\pi,0 \right] . On sait que \cos\left(x\right)=\dfrac{1+\sqrt{5}}{4}.
Quelle est la valeur de \sin\left(x\right) ?
On sait que pour tout réel x : \cos^2\left(x\right) + \sin^2\left(x\right) = 1. On a donc :
\sin^2\left(x\right) = 1 -\cos^2\left(x\right).
Or \cos\left(x\right) = \dfrac{1+\sqrt{5}}{4}. On obtient donc :
\begin{aligned}\sin^2\left(x\right) &= 1 - \left(\dfrac{1+\sqrt{5}}{4}\right)^2 \\ &= 1 - \dfrac{1+2\sqrt{5}+5}{16} \\ &= \dfrac{16-1-2\sqrt{5}-5}{16} \\ &= \dfrac{10-2\sqrt{5}}{16} \\ &=\dfrac{5-\sqrt{5}}{8}\end{aligned}
Ainsi, \sin\left(x\right) = \dfrac{\sqrt{5-\sqrt{5}}}{2\sqrt{2}} ou \sin\left(x\right) = -\dfrac{\sqrt{5-\sqrt{5}}}{2\sqrt{2}}.
Or on sait que x \in \left[ -\pi, 0\right], donc \sin\left(x\right)\leqslant0.
Ainsi, \sin\left(x\right) ne peut pas valoir \dfrac{\sqrt{5-\sqrt{5}}}{2\sqrt{2}} car ce nombre est positif.
On obtient donc \sin\left(x\right) = -\dfrac{\sqrt{5-\sqrt{5}}}{2\sqrt{2}}.
Soit x\in\left[ -\dfrac{\pi}{2},0 \right] . On sait que \sin\left(x\right)=-\dfrac{1}{4}.
Quelle est la valeur de \cos\left(x\right) ?
On sait que pour tout réel x : \cos^2\left(x\right) + \sin^2\left(x\right) = 1. On a donc :
\cos^2\left(x\right) = 1 -\sin^2\left(x\right).
Or \sin\left(x\right) = -\dfrac{1}{4}. On obtient donc :
\begin{aligned}\cos^2\left(x\right) &= 1 - \left(- \dfrac{1}{4}\right)^2 \\ &= 1 - \dfrac{1}{16} \\ &= \dfrac{16-1}{16} \\ &= \dfrac{15}{16} \end{aligned}
Ainsi, \cos\left(x\right) = \dfrac{\sqrt{15}}{4} ou \cos\left(x\right) = -\dfrac{\sqrt{15}}{4}.
Or on sait que x \in \left[ -\dfrac{\pi}{2},0\right], donc \cos\left(x\right)\geqslant0.
Ainsi, \cos\left(x\right) ne peut pas valoir -\dfrac{\sqrt{15}}{4} car ce nombre est négatif.
On obtient donc \cos\left(x\right) = \dfrac{\sqrt{15}}{4}.