Identifier les points qui ont la même image sur le cercle trigonométrique Exercice

Deux points ont la même image sur le cercle trigonométrique si et seulement s'ils ont la même valeur à 2k\pi près, k \in\mathbb{Z}.

Pour savoir si \dfrac{11\pi}{4} et \dfrac{123\pi}{4} ont la même image, on calcule leur différence et on détermine si c'est un multiple de 2\pi.

\dfrac{123\pi}{4}-\dfrac{11\pi}{4}=\dfrac{112\pi}{4}=28\pi=2\pi\times14

On trouve bien un multiple de 2\pi.

Deux points ont la même image sur le cercle trigonométrique si et seulement s'ils ont la même valeur à 2k\pi près, k \in\mathbb{Z}.

Pour savoir si -\dfrac{7\pi}{3} et \dfrac{25\pi}{3} ont la même image, on calcule leur différence et on détermine si c'est un multiple de 2\pi.

\dfrac{25\pi}{3}- \left(-\dfrac{7\pi}{3}\right)=\dfrac{25\pi}{3}+\dfrac{7\pi}{3}=\dfrac{32\pi}{3}=10\pi+\dfrac{2\pi}{3}

Or, 10\pi+\dfrac{2\pi}{3} n'est pas un multiple de 2\pi.

Deux points ont la même image sur le cercle trigonométrique si et seulement s'ils ont la même valeur à 2k\pi près, k \in\mathbb{Z}.

Pour savoir si \dfrac{3\pi}{15} et -\dfrac{312\pi}{15} ont la même image, on calcule leur différence et on détermine si c'est un multiple de 2\pi.

\dfrac{3\pi}{15}- \left(-\dfrac{312\pi}{15}\right)=\dfrac{3\pi}{15}+\dfrac{312\pi}{15}=\dfrac{315\pi}{15}=21\pi

Or, 21\pi n'est pas un multiple de 2\pi.

Deux points ont la même image sur le cercle trigonométrique si et seulement s'ils ont la même valeur à 2k\pi près, k \in\mathbb{Z}.

Pour savoir si \dfrac{16\pi}{3} et \dfrac{4\pi}{3} ont la même image, on calcule leur différence et on détermine si c'est un multiple de 2\pi.

\dfrac{16\pi}{3}- \dfrac{4\pi}{3}=\dfrac{12\pi}{3}=4\pi=2\times2\pi

On trouve bien un multiple de 2\pi.

Deux points ont la même image sur le cercle trigonométrique si et seulement s'ils ont la même valeur à 2k\pi près, k \in\mathbb{Z}.

Pour savoir si -\dfrac{8\pi}{7} et -\dfrac{36\pi}{7} ont la même image, on calcule leur différence et on détermine si c'est un multiple de 2\pi.

-\dfrac{8\pi}{7}-\left(- \dfrac{36\pi}{7}\right)=-\dfrac{8\pi}{7}+\dfrac{36\pi}{7}=\dfrac{28\pi}{7}=4\pi=2\times2\pi

On trouve bien un multiple de 2\pi.

Deux points ont la même image sur le cercle trigonométrique si et seulement s'ils ont la même valeur à 2k\pi près, k \in\mathbb{Z}.

Pour savoir si \dfrac{\pi}{2} et \dfrac{5\pi}{3} ont la même image, on calcule leur différence et on détermine si c'est un multiple de 2\pi.

\dfrac{5\pi}{3}- \dfrac{\pi}{2}=\dfrac{10\pi}{6}-\dfrac{3\pi}{6}=\dfrac{7\pi}{6}=\pi+\dfrac{\pi}{6}

Or, \pi+\dfrac{\pi}{6} n'est pas un multiple de 2\pi.

Deux points ont la même image sur le cercle trigonométrique si et seulement s'ils ont la même valeur à 2k\pi près, k \in\mathbb{Z}.

Pour savoir si \dfrac{5\pi}{8} et \dfrac{11\pi}{8} ont la même image, on calcule leur différence et on détermine si c'est un multiple de 2\pi.

\dfrac{11\pi}{8}- \dfrac{5\pi}{8}=\dfrac{6\pi}{8}=\dfrac{3\pi}{4}

Or, \dfrac{3\pi}{4} n'est pas un multiple de 2\pi.