Démontrer que deux droites sont parallèles
Deux droites (AB) et (CD) sont parallèles si et seulement si \left(\overrightarrow{AB} ;\overrightarrow{CD}\right) = 0 +k\pi, avec k \in \mathbb{Z}.
On considère la figure suivante :
Montrer que les droites (AB) et (CD) sont parallèles.
Énoncer le cours
On rappelle que deux droites (AB) et (CD) sont parallèles si et seulement si \left(\overrightarrow{AB} ;\overrightarrow{CD}\right) = 0 +k\pi, avec k \in \mathbb{Z}.
Les deux droites (AB) et (CD) sont parallèles si \left(\overrightarrow{AB} ;\overrightarrow{CD}\right) = 0 +k\pi, avec k \in \mathbb{Z}.
Calculer une mesure de l'angle
On calcule une mesure de l'angle \left(\overrightarrow{AB} ; \overrightarrow{CD}\right).
D'après la relation de Chasles appliquée aux angles orientés :
\left(\overrightarrow{AB};\overrightarrow{CD}\right) = \left(\overrightarrow{AB};\overrightarrow{BE}\right)+ \left(\overrightarrow{BE};\overrightarrow{EC}\right)+\left(\overrightarrow{EC};\overrightarrow{CD}\right)
On détermine une mesure de chacun des angles :
- \left(\overrightarrow{AB};\overrightarrow{BE}\right)=\dfrac{\pi}{2}
- \left(\overrightarrow{BE};\overrightarrow{EC}\right)=\left(\overrightarrow{BE};\overrightarrow{EB}\right)+\left(\overrightarrow{EB};\overrightarrow{EC}\right)= \pi +\dfrac{\pi}{4} =\dfrac{5\pi}{4}
- \left(\overrightarrow{EC};\overrightarrow{CD}\right) =\left(\overrightarrow{EC};\overrightarrow{CE}\right)+\left(\overrightarrow{CE};\overrightarrow{CD}\right)= \pi -\dfrac{3\pi}{4}=\dfrac{\pi}{4}
On en déduit qu'une mesure de \left(\overrightarrow{AB};\overrightarrow{CD}\right) est :
\left(\overrightarrow{AB};\overrightarrow{CD}\right) =\dfrac{\pi}{2}+ \dfrac{5\pi}{4}+\dfrac{\pi}{4}
Une mesure de \left(\overrightarrow{AB};\overrightarrow{CD}\right) est donc :
\left(\overrightarrow{AB};\overrightarrow{CD}\right) = 2\pi
Conclure
Si \left(\overrightarrow{AB} ; \overrightarrow{CD}\right) = 0 +k\pi, avec k \in \mathbb{Z}, alors les droites (AB) et (CD) sont parallèles.
On a :
\left(\overrightarrow{AB};\overrightarrow{CD}\right) = 2\pi = 0 \left[ \pi \right]
On en conclut que les droites (AB) et (CD) sont parallèles.
Démontrer que trois points sont alignés
Trois points A, B et C sont alignés si et seulement si \left(\overrightarrow{AB} ;\overrightarrow{AC}\right) = 0 +k\pi, avec k \in \mathbb{Z}.
On considère le carré ABCD, E le milieu de [BD] et BDF un triangle équilatéral.
Démontrer, en utilisant les angles orientés, que les points A, E et F sont alignés.
Énoncer le cours
On rappelle que trois points A, B et C sont alignés si et seulement si \left(\overrightarrow{AB} ;\overrightarrow{AC}\right) = 0 +k\pi, avec k \in \mathbb{Z}.
Les trois points A, E et F sont alignés si et seulement si \left(\overrightarrow{AE} ;\overrightarrow{AF}\right) = 0 +k\pi, avec k \in \mathbb{Z}.
Calculer une mesure de l'angle
On calcule une mesure de l'angle \left(\overrightarrow{AB} ; \overrightarrow{AC}\right).
D'après la relation de Chasles appliquée aux angles orientés :
\left(\overrightarrow{AE};\overrightarrow{AF}\right) = \left(\overrightarrow{AE};\overrightarrow{AD}\right)+ \left(\overrightarrow{AD};\overrightarrow{DE}\right)+\left(\overrightarrow{DE};\overrightarrow{EF}\right)
On détermine une mesure de chacun des angles :
- La droite (AE) est la bissectrice de l'angle \left(\overrightarrow{AB} ; \overrightarrow{AD}\right), donc \left(\overrightarrow{AE};\overrightarrow{AD}\right)=\dfrac{1}{2}\left(\overrightarrow{AB};\overrightarrow{AD}\right) = \dfrac{\pi}{4}
- La droite (DE) est la bissectrice de l'angle \left(\overrightarrow{DA} ; \overrightarrow{DC}\right), donc \left(\overrightarrow{DA};\overrightarrow{DE}\right)=\dfrac{1}{2}\left(\overrightarrow{DA};\overrightarrow{DC}\right) = \dfrac{\pi}{4}. D'où \left(\overrightarrow{AD};\overrightarrow{DE}\right)=\left(\overrightarrow{AD};\overrightarrow{DA}\right) +\left(\overrightarrow{DA};\overrightarrow{DE}\right) =\pi+ \dfrac{\pi}{4} = \dfrac{5\pi}{4}
- \left(\overrightarrow{DE};\overrightarrow{EF}\right) =\dfrac{\pi}{2}
On en déduit qu'une mesure de \left(\overrightarrow{AE};\overrightarrow{AF}\right) est :
\left(\overrightarrow{AE};\overrightarrow{AF}\right) = \dfrac{\pi}{4}+ \dfrac{5\pi}{4}+\dfrac{\pi}{2}
Une mesure de \left(\overrightarrow{AE};\overrightarrow{AF}\right) est donc :
\left(\overrightarrow{AE};\overrightarrow{AF}\right) =2 \pi
Conclure
Si \left(\overrightarrow{AB} ;\overrightarrow{AC}\right) = 0 +k\pi, avec k \in \mathbb{Z}, alors les points A, B et C sont alignés.
On a :
\left(\overrightarrow{AE};\overrightarrow{AF}\right) = 2\pi = 0 +2\pi\ \left[ 2\pi \right]
On en conclut que les droites A, E et F sont alignés.
Démontrer que deux droites sont perpendiculaires
Deux droites (AB) et (CD) sont perpendiculaires si et seulement si \left(\overrightarrow{AB} ;\overrightarrow{CD}\right) = \dfrac{\pi}{2} +k\pi avec k \in \mathbb{Z}.
On considère la figure suivante :
Montrer que les droites (AB) et (DE) sont perpendiculaires.
Enoncer le cours
On rappelle que deux droites (AB) et (CD) sont perpendiculaires si et seulement si \left(\overrightarrow{AB} ;\overrightarrow{CD}\right) = \dfrac{\pi}{2} +k\pi avec k \in \mathbb{Z}.
Deux droites (AB) et (DE) sont perpendiculaires si et seulement si \left(\overrightarrow{AB} ;\overrightarrow{DE}\right) = \dfrac{\pi}{2} +k\pi avec k \in \mathbb{Z}.
Calculer une mesure de l'angle
On calcule l'angle \left(\overrightarrow{AB} ; \overrightarrow{CD}\right).
D'après la relation de Chasles appliquée aux angles orientés :
\left(\overrightarrow{AB};\overrightarrow{DE}\right) = \left(\overrightarrow{AB};\overrightarrow{BC}\right)+ \left(\overrightarrow{BC};\overrightarrow{CD}\right)+\left(\overrightarrow{CD};\overrightarrow{DE}\right)
On détermine une mesure de chacun des angles :
- \left(\overrightarrow{AB};\overrightarrow{BC }\right)=\left(\overrightarrow{AB};\overrightarrow{BA}\right)+\left(\overrightarrow{BA};\overrightarrow{BC }\right)= \pi-\dfrac{\pi}{4}= \dfrac{3\pi}{4}
- \left(\overrightarrow{BC};\overrightarrow{CD}\right)=\left(\overrightarrow{BC};\overrightarrow{CB}\right)+\left(\overrightarrow{CB};\overrightarrow{CD}\right)= \pi + \dfrac{\pi}{3} =\dfrac{4\pi}{3}
- \left(\overrightarrow{CD};\overrightarrow{DE}\right) =\left(\overrightarrow{CD};\overrightarrow{DC}\right)+\left(\overrightarrow{DC};\overrightarrow{DE}\right)= \pi -\dfrac{7\pi}{12} =\dfrac{5\pi}{12}
On en déduit qu'une mesure de \left(\overrightarrow{AB};\overrightarrow{DE}\right) est :
\left(\overrightarrow{AB};\overrightarrow{DE}\right) = \dfrac{3\pi}{4}+ \dfrac{4\pi}{3}+\dfrac{5\pi}{12}
Soit :
\left(\overrightarrow{AB};\overrightarrow{DE}\right) = \dfrac{9\pi}{12}+ \dfrac{16\pi}{12}+\dfrac{5\pi}{12}
Une mesure de \left(\overrightarrow{AB};\overrightarrow{DE}\right) est donc :
\left(\overrightarrow{AB};\overrightarrow{DE}\right) = \dfrac{30\pi}{12}
Conclure
Si \left(\overrightarrow{AB} ;\overrightarrow{CD}\right) =\dfrac{\pi}{2} +k\pi, avec k \in \mathbb{Z}. Alors les droites (AB) et (CD) sont perpendiculaires.
On a :
\left(\overrightarrow{AB};\overrightarrow{DE}\right) = \dfrac{24\pi}{12}+\dfrac{6\pi}{12} = 2\pi + \dfrac{\pi}{2}\ \left[ 2\pi \right]
On en conclut que les droites (AB) et (DE) sont perpendiculaires.