Un angle \theta possède une infinité de mesures en radians. La mesure principale d'un angle est la mesure qui appartient à l'intervalle \left]-\pi ; \pi \right].
Dans les cas suivants, déterminer la mesure principale de l'angle \theta.
\theta = \dfrac{109\pi}{3}
La mesure principale d'un angle est l'angle \theta est l'angle \theta+2k\pi, k\in \mathbb{Z} tel que -\pi \lt \theta+2k\pi \leq \pi.
On cherche ici un entier relatif k tel que :
-\pi < \dfrac{109\pi}{3}+2k\pi \leq \pi
On effectue des opérations successives sur cet encadrement pour trouver la valeur de k.
-\pi < \dfrac{109\pi}{3}+2k\pi \leq \pi
\Leftrightarrow -\pi-\dfrac{109\pi}{3} < 2k\pi \leq \pi-\dfrac{109\pi}{3}\\
\Leftrightarrow \dfrac{-112\pi}{3} < 2k\pi \leq \dfrac{-106\pi}{3}
Puis, en divisant par 2\pi (réel positif) chaque membre, on a :
\dfrac{-112\pi}{3} < 2k\pi \leq \dfrac{-106\pi}{3}
\Leftrightarrow \dfrac{-112\pi}{3 \times 2\pi} < k \leq \dfrac{-106\pi}{3 \times 2\pi}
\Leftrightarrow -\dfrac{56}{3} < k \leq -\dfrac{53}{3}
A la calculatrice, on obtient :
- -\dfrac{56}{3} \approx -18{,}6
- -\dfrac{53}{3} \approx -17{,}6.
D'où :
-18{,}6 \lt k \leq -17{,}6
Or k étant un entier, on en déduit que :
k = -18
Finalement :
\theta = \dfrac{109\pi}{3} - 18 \times 2\pi = \dfrac{109\pi}{3}-\dfrac{108\pi}{3}=\dfrac{\pi}{3}
La mesure principale de \theta est \dfrac{\pi}{3}.
\theta = -\dfrac{104\pi}{5}
La mesure principale d'un angle est l'angle \theta est l'angle \theta+2k\pi, k\in \mathbb{Z} tel que -\pi \lt \theta+2k\pi \leq \pi.
On cherche ici un entier relatif k tel que :
-\pi < \dfrac{-104\pi}{5}+2k\pi \leq \pi
On effectue des opérations successives sur cet encadrement pour trouver la valeur de k.
-\pi < -\dfrac{104\pi}{5}+2k\pi \leq \pi
\Leftrightarrow -\pi+\dfrac{104\pi}{5} < 2k\pi \leq \pi+\dfrac{104\pi}{5}\\
\Leftrightarrow \dfrac{99\pi}{5} < 2k\pi \leq \dfrac{109\pi}{5}
Puis, en divisant par 2\pi (réel positif) chaque membre :
\dfrac{99\pi}{5} < 2k\pi \leq \dfrac{109\pi}{5}
\Leftrightarrow \dfrac{99\pi}{5 \times 2\pi} < k \leq \dfrac{109\pi}{5 \times 2\pi}
\Leftrightarrow 9{,}9 < k \leq 10{,}9
k étant un entier, on en déduit que k = 10.
Finalement : \theta = -\dfrac{104\pi}{5} + 10 \times 2\pi = -\dfrac{104\pi}{5}+\dfrac{100\pi}{5}=-\dfrac{4\pi}{5}.
La mesure principale de \theta est donc -\dfrac{4\pi}{5}.
\theta = \dfrac{23\pi}{9}
La mesure principale d'un angle est l'angle \theta est l'angle \theta+2k\pi, k\in \mathbb{Z} tel que -\pi \lt \theta+2k\pi \leq \pi.
On cherche ici un entier relatif k tel que :
-\pi < \dfrac{23\pi}{9}+2k\pi \leq \pi
On effectue des opérations successives sur cet encadrement pour trouver la valeur de k.
-\pi < \dfrac{23\pi}{9}+2k\pi \leq \pi
\Leftrightarrow -\pi-\dfrac{23\pi}{9} < 2k\pi \leq \pi-\dfrac{23\pi}{9}\\
\Leftrightarrow \dfrac{-32\pi}{9} < 2k\pi \leq \dfrac{-14\pi}{9}
Puis, en divisant par 2\pi (réel positif) chaque membre :
\dfrac{-32\pi}{9} < 2k\pi \leq \dfrac{-14\pi}{9}
\Leftrightarrow \dfrac{-32\pi}{9 \times 2\pi} < k \leq \dfrac{-14\pi}{9 \times 2\pi}
\Leftrightarrow -\dfrac{16}{9} < k \leq -\dfrac{7}{9}
A la calculatrice, on obtient : -\dfrac{16}{9} \approx -1{,}77 et -\dfrac{7}{9} \approx -0{,}77.
k étant un entier, on en déduit que k = -1.
Finalement : \theta = \dfrac{23\pi}{9} - 1 \times 2\pi = \dfrac{23\pi}{9}-\dfrac{18\pi}{9}=\dfrac{5\pi}{9}
La mesure principale de \theta est donc \dfrac{5\pi}{9}.
\theta = \dfrac{80\pi}{7}
La mesure principale d'un angle est l'angle \theta est l'angle \theta+2k\pi, k\in \mathbb{Z} tel que -\pi \lt \theta+2k\pi \leq \pi.
On cherche ici un entier relatif k tel que :
-\pi < \dfrac{80\pi}{7}+2k\pi \leq \pi
On effectue des opérations successives sur cet encadrement pour trouver la valeur de k.
-\pi < \dfrac{80\pi}{7}+2k\pi \leq \pi
\Leftrightarrow -\pi-\dfrac{80\pi}{7} < 2k\pi \leq \pi-\dfrac{80\pi}{7}\\
\Leftrightarrow \dfrac{-87\pi}{7} < 2k\pi \leq \dfrac{-73\pi}{7}
Puis, en divisant par 2\pi (réel positif) chaque membre :
\dfrac{-87\pi}{7} < 2k\pi \leq \dfrac{-73\pi}{7}
\Leftrightarrow \dfrac{-87\pi}{7 \times 2\pi} < k \leq \dfrac{-73\pi}{7 \times 2\pi}
\Leftrightarrow -\dfrac{87}{14} < k \leq -\dfrac{73}{14}
A la calculatrice, on obtient : -\dfrac{87}{14} \approx -6{,}21 et -\dfrac{73}{14} \approx -5{,}21.
k étant un entier, on en déduit que k = -6.
Finalement : \theta = \dfrac{80\pi}{7} - 6 \times 2\pi = \dfrac{80\pi}{7}-\dfrac{84\pi}{7}=-\dfrac{4\pi}{7}
La mesure principale de \theta est donc -\dfrac{4\pi}{7}.
\theta = \dfrac{80\pi}{3}
La mesure principale d'un angle est l'angle \theta est l'angle \theta+2k\pi, k\in \mathbb{Z} tel que -\pi \lt \theta+2k\pi \leq \pi.
On cherche ici un entier relatif k tel que :
-\pi < \dfrac{80\pi}{3}+2k\pi \leq \pi
On effectue des opérations successives sur cet encadrement pour trouver la valeur de k.
-\pi < \dfrac{80\pi}{3}+2k\pi \leq \pi
\Leftrightarrow -\pi-\dfrac{80\pi}{3} < 2k\pi \leq \pi-\dfrac{80\pi}{3}\\
\Leftrightarrow \dfrac{-83\pi}{3} < 2k\pi \leq \dfrac{-77\pi}{3}
Puis, en divisant par 2\pi (réel positif) chaque membre :
\dfrac{-83\pi}{3} < 2k\pi \leq \dfrac{-77\pi}{3}
\Leftrightarrow \dfrac{-83\pi}{3 \times 2\pi} < k \leq \dfrac{-77\pi}{3 \times 2\pi}
\Leftrightarrow -\dfrac{83}{6} < k \leq -\dfrac{77}{6}
A la calculatrice, on obtient : -\dfrac{83}{6} \approx -13{,}83 et -\dfrac{77}{6} \approx -12{,}83.
k étant un entier, on en déduit que k = -13.
Finalement : \theta = \dfrac{80\pi}{3} - 13 \times 2\pi = \dfrac{80\pi}{3}-\dfrac{78\pi}{3}=\dfrac{2\pi}{3}
La mesure principale de \theta est donc \dfrac{2\pi}{3}.
\theta = \dfrac{1\ 000\pi}{23}
La mesure principale d'un angle est l'angle \theta est l'angle \theta+2k\pi, k\in \mathbb{Z} tel que -\pi \lt \theta+2k\pi \leq \pi.
On cherche ici un entier relatif k tel que :
-\pi < \dfrac{1\ 000\pi}{23}+2k\pi \leq \pi
On effectue des opérations successives sur cet encadrement pour trouver la valeur de k.
-\pi < \dfrac{1\ 000\pi}{23}+2k\pi \leq \pi
\Leftrightarrow -\pi-\dfrac{1\ 000\pi}{23} < 2k\pi \leq \pi-\dfrac{1\ 000\pi}{23}\\
\Leftrightarrow \dfrac{-1\ 023\pi}{23} < 2k\pi \leq \dfrac{-977\pi}{23}
Puis, en divisant par 2\pi (réel positif) chaque membre :
\dfrac{-1\ 023\pi}{23} < 2k\pi \leq \dfrac{-977\pi}{23}
\Leftrightarrow \dfrac{-1\ 023\pi}{23 \times 2\pi} < k \leq \dfrac{-977\pi}{23 \times 2\pi}
\Leftrightarrow -\dfrac{1\ 023}{46} < k \leq -\dfrac{977}{46}
A la calculatrice, on obtient : -\dfrac{1\ 023}{46} \approx -22{,}3 et -\dfrac{977}{46} \approx -21{,}23.
k étant un entier, on en déduit que k = -22.
Finalement : \theta = \dfrac{1\ 000\pi}{23} - 22 \times 2\pi = \dfrac{1\ 000\pi}{23}-\dfrac{1\ 012\pi}{23}=-\dfrac{12\pi}{23}
La mesure principale de \theta est donc -\dfrac{12\pi}{23}.
\theta = -\dfrac{60\pi}{17}
La mesure principale d'un angle est l'angle \theta est l'angle \theta+2k\pi, k\in \mathbb{Z} tel que -\pi \lt \theta+2k\pi \leq \pi.
On cherche donc un entier relatif k tel que :
-\pi < -\dfrac{60\pi}{17}+2k\pi \leq \pi
On effectue des opérations successives sur cet encadrement pour trouver la valeur de k.
-\pi < -\dfrac{60\pi}{17}+2k\pi \leq \pi
\Leftrightarrow -\pi+\dfrac{60\pi}{17} < 2k\pi \leq \pi+\dfrac{60\pi}{17}\\
\Leftrightarrow \dfrac{43\pi}{17} < 2k\pi \leq \dfrac{77\pi}{17}
Puis, en divisant par 2\pi (réel positif) chaque membre :
\dfrac{43\pi}{17} < 2k\pi \leq \dfrac{77\pi}{17}
\Leftrightarrow \dfrac{43\pi}{17 \times 2\pi} < k \leq \dfrac{77\pi}{17 \times 2\pi}
\Leftrightarrow \dfrac{43}{34} < k \leq \dfrac{77}{34}
A la calculatrice, on obtient : \dfrac{43}{34} \approx 1{,}26 et \dfrac{77}{34} \approx 2{,}26.
k étant un entier, on en déduit que k =2.
Finalement : \theta = -\dfrac{60\pi}{17} + 2 \times 2\pi = -\dfrac{60\pi}{17}+\dfrac{68\pi}{17}=\dfrac{8\pi}{17}
La mesure principale de \theta est donc \dfrac{8\pi}{17}.
\theta = -\dfrac{339\pi}{4}
La mesure principale d'un angle est l'angle \theta est l'angle \theta+2k\pi, k\in \mathbb{Z} tel que -\pi \lt \theta+2k\pi \leq \pi.
On cherche ici un entier relatif k tel que :
-\pi < -\dfrac{339\pi}{4}+2k\pi \leq \pi
On effectue des opérations successives sur cet encadrement pour trouver la valeur de k.
-\pi < -\dfrac{339\pi}{4}+2k\pi \leq \pi
\Leftrightarrow -\pi+\dfrac{339\pi}{4} < 2k\pi \leq \pi+\dfrac{339\pi}{4}\\
\Leftrightarrow \dfrac{335\pi}{4} < 2k\pi \leq \dfrac{343\pi}{4}
Puis, en divisant par 2\pi (réel positif) chaque membre :
\dfrac{335\pi}{4} < 2k\pi \leq \dfrac{343\pi}{4}
\Leftrightarrow \dfrac{335\pi}{4 \times 2\pi} < k \leq \dfrac{343\pi}{4 \times 2\pi}
\Leftrightarrow \dfrac{335}{8} < k \leq \dfrac{343}{8}
A la calculatrice, on obtient : \dfrac{335}{8} \approx 41{,}87 et \dfrac{343}{8} \approx 42{,}87.
k étant un entier, on en déduit que k = 42.
Finalement : \theta = -\dfrac{339\pi}{4} + 42 \times 2\pi = -\dfrac{339\pi}{4}+\dfrac{336\pi}{4}=-\dfrac{3\pi}{4}
La mesure principale de \theta est donc -\dfrac{3\pi}{4}.