Sommaire
1Chercher k\in \mathbb{Z} tel que \alpha+2k\pi \in\left] -\pi;\pi \right] 2Déterminer la mesure principaleUn angle \alpha possède une infinité de mesures en radians. La mesure principale d'un angle est la mesure qui appartient à \left]-\pi ; \pi \right].
Déterminer la mesure principale de l'angle \dfrac{153\pi}{6}.
Chercher k\in \mathbb{Z} tel que \alpha+2k\pi \in\left] -\pi;\pi \right]
On cherche à déterminer la mesure principale de l'angle \alpha.
On écrit que l'on cherche k \in \mathbb{Z} tel que :
-\pi \lt \alpha +k2\pi \leq \pi
On résout cette inéquation pour obtenir un encadrement de k :
-\pi - \alpha\lt k2\pi \leq \pi- \alpha
Soit :
\dfrac{-\pi - \alpha}{2\pi}\lt k \leq \dfrac{\pi- \alpha}{2\pi}
On calcule ensuite une valeur approchée de \dfrac{-\pi - \alpha}{2\pi} et de \dfrac{\pi - \alpha}{2\pi}, et on choisit la valeur de k \in \mathbb{Z} vérifiant l'inégalité.
k doit être un entier relatif.
On cherche l'entier relatif k tel que -\pi \lt \dfrac{153\pi}{6}+k2\pi \leq \pi. On résout :
-\pi \lt \dfrac{153\pi}{6}+k2\pi \leq \pi
\Leftrightarrow -\pi-\dfrac{153\pi}{6} \lt k2\pi \leq \pi-\dfrac{153\pi}{6}
\Leftrightarrow -\dfrac{159\pi}{6} \lt k2\pi \leq -\dfrac{147\pi}{6}
\Leftrightarrow -\dfrac{159\pi}{6 \times 2\pi} \lt k \leq -\dfrac{147\pi}{6\times 2\pi}
\Leftrightarrow -\dfrac{159}{12} \lt k \leq -\dfrac{147}{12}
Or :
- - \dfrac{159}{12} = -13{,}25
- - \dfrac{147}{12} = -12{,}25
On en déduit donc que k = -13.
Déterminer la mesure principale
Pour la valeur de k déterminée précédemment, on calcule \alpha +k2\pi.
La valeur trouvée est la mesure principale de l'angle \alpha.
On calcule \dfrac{153\pi}{6} +2k\pi avec la valeur de k trouvée précédemment :
\dfrac{153\pi}{6} - 13 \times 2\pi = \dfrac{153\pi}{6} - 26\pi
\dfrac{153\pi}{6} - 13 \times 2\pi = \dfrac{153\pi}{6} - \dfrac{26\pi\times 6}{6}
\dfrac{153\pi}{6} - 13 \times 2\pi = \dfrac{153\pi-156\pi}{6}
\dfrac{153\pi}{6} - 13 \times 2\pi = \dfrac{-3\pi}{6}
\dfrac{153\pi}{6} - 13 \times 2\pi = \dfrac{-\pi}{2}
La mesure principale de l'angle \dfrac{153\pi}{6} est donc - \dfrac{\pi}{2}.