Quelle est la solution de l'équation trigonométrique suivante sur \mathbb{R} ?
\cos \left(4x\right) - \sin\left(2x\right) =0
D'après le cours, on sait que :
\cos\left(a\right) = \sin \left(\dfrac{\pi}{2}-a\right)
On en déduit ici que \cos\left(4x\right) = \sin \left(\dfrac{\pi}{2}-4x\right) .
L'équation \cos \left(4x\right) -\sin\left(2x\right) =0 devient ainsi :
\sin\left(\dfrac{\pi}{2}-4x\right) =\sin\left(2x\right)
D'après le cours, on sait que :
\sin\left(a\right) =\sin\left(b \right)\Leftrightarrow\begin{cases} a=b+k2\pi, k\in \mathbb{Z}\cr \cr a=\pi-b+k2\pi, k\in \mathbb{Z}\ \end{cases}
Ici, en posant a = 4x-\dfrac{\pi}{2} et b =2x, on obtient :
\sin\left(\dfrac{\pi}{2}-4x\right) =\sin\left(2x\right)\Leftrightarrow\begin{cases} \dfrac{\pi}{2}-4x=2x+k2\pi, k\in \mathbb{Z}\cr \cr\dfrac{\pi}{2}-4x=\pi-2x+k2\pi, k\in \mathbb{Z}\ \end{cases}
\begin{cases} 6x=\dfrac{\pi}{2}+k2\pi, k\in \mathbb{Z}\cr \cr2x=\dfrac{3\pi}{2}+k2\pi, k\in \mathbb{Z}\ \end{cases}
\begin{cases} x=\dfrac{\pi}{12}+k\dfrac{\pi}{3}, k\in \mathbb{Z}\cr \cr x=\dfrac{3\pi}{4}+k\pi, k\in \mathbb{Z}\ \end{cases}
S = \left\{ \dfrac{\pi}{12}+k\dfrac{\pi}{3}; \dfrac{3\pi}{4}+k\pi \right\}
Résoudre l'équation trigonométrique suivante sur \mathbb{R} :
\sin\left(x-\dfrac{\pi}{3}\right)=\cos\left(\dfrac{\pi}{3}\right)
D'après le cours, on sait que :
\cos\left(a\right) = \sin \left(\dfrac{\pi}{2}-a\right)
On en déduit ici que \cos\left(\dfrac{\pi}{3}\right) = \sin \left(\dfrac{\pi}{2}-\dfrac{\pi}{3}\right)=\sin \left(\dfrac{3\pi}{6}-\dfrac{2\pi}{6}\right)=\sin \left(\dfrac{\pi}{6}\right).
L'équation \sin\left(x-\dfrac{\pi}{3}\right)=\cos\left(\dfrac{\pi}{3}\right) devient ainsi :
\sin\left(x-\dfrac{\pi}{3}\right)=\sin\left(\dfrac{\pi}{6}\right)
D'après le cours, on sait que :
\sin\left(a\right) =\sin\left(b \right)\Leftrightarrow\begin{cases} a=b+k2\pi, k\in \mathbb{Z}\cr \cr a=\pi-b+k2\pi, k\in \mathbb{Z}\ \end{cases}
Ici, en posant a = x-\dfrac{\pi}{3} et b =\dfrac{\pi}{6}, on obtient :
\sin\left(x-\dfrac{\pi}{3}\right)=\sin\left(\dfrac{\pi}{6}\right)\Leftrightarrow\begin{cases} x-\dfrac{\pi}{3}=\dfrac{\pi}{6}+k2\pi, k\in \mathbb{Z}\cr \cr x-\dfrac{\pi}{3}=\pi-\dfrac{\pi}{6}+k2\pi, k\in \mathbb{Z}\ \end{cases}
\begin{cases} x=\dfrac{\pi}{6}+\dfrac{\pi}{3}+k2\pi, k\in \mathbb{Z}\cr \cr x=\dfrac{5\pi}{6}+\dfrac{\pi}{3}+k2\pi, k\in \mathbb{Z}\ \end{cases}
\begin{cases} x=\dfrac{3\pi}{6}+k2\pi, k\in \mathbb{Z}\cr \cr x=\dfrac{7\pi}{6}+k2\pi, k\in \mathbb{Z}\ \end{cases}
S = \left\{\dfrac{\pi}{2}+k2\pi;\dfrac{7\pi}{6}+k2\pi\right\}
Résoudre l'équation trigonométrique suivante sur \mathbb{R} :
\cos\left(2x-1\right)=\sin\left(\dfrac{\pi}{4}\right)
D'après le cours, on sait que :
\sin\left(a\right) = \cos\left(\dfrac{\pi}{2}-a\right)
On en déduit ici que \sin\left(\dfrac{\pi}{4}\right) = \cos\left(\dfrac{\pi}{2}-\dfrac{\pi}{4}\right)=\cos\left(\dfrac{\pi}{4}\right).
L'équation \cos\left(2x-1\right)=\sin\left(\dfrac{\pi}{4}\right) devient ainsi :
\cos\left(2x-1\right)=\cos\left(\dfrac{\pi}{4}\right)
D'après le cours, on sait que :
\cos\left(a\right) =\cos\left(b \right)\Leftrightarrow\begin{cases} a=b+k2\pi, k\in \mathbb{Z}\cr \cr a=-b+k2\pi, k\in \mathbb{Z}\ \end{cases}
Ici, en posant a = 2x-1 et b =\dfrac{\pi}{4}, on obtient :
\cos\left(2x-1\right)=\sin\left(\dfrac{\pi}{4}\right)\Leftrightarrow\begin{cases} 2x-1=\dfrac{\pi}{4}+k2\pi, k\in \mathbb{Z}\cr \cr 2x-1=-\dfrac{\pi}{4}+k2\pi, k\in \mathbb{Z}\ \end{cases}
\begin{cases} 2x=1+\dfrac{\pi}{4}+k2\pi, k\in \mathbb{Z}\cr \cr 2x=1-\dfrac{\pi}{4}+k2\pi, k\in \mathbb{Z}\ \end{cases}
\begin{cases} x=\dfrac{1}{2}+\dfrac{\pi}{8}+k\pi, k\in \mathbb{Z}\cr \cr x=\dfrac{1}{2}-\dfrac{\pi}{8}+k\pi, k\in \mathbb{Z}\ \end{cases}
S = \left\{\dfrac{1}{2}-\dfrac{\pi}{8}+k\pi;\dfrac{1}{2}+\dfrac{\pi}{8}+k\pi\right\}
Résoudre l'équation trigonométrique suivante sur \mathbb{R} :
\sin\left(x+2\right)- \cos \left(2x-1\right) = 0
D'après le cours, on sait que :
\sin\left(a\right) = \cos\left(\dfrac{\pi}{2}-a\right)
On en déduit ici que :
\sin\left(x+2\right) = \cos\left(\dfrac{\pi}{2}-x-2\right)
L'équation \sin\left(x+2\right)- \cos \left(2x-1\right) = 0 devient ainsi :
\cos\left(\dfrac{\pi}{2}-x-2\right)-\cos\left(2x-1\right) = 0
\cos\left(\dfrac{\pi}{2}-x-2\right)=\cos\left(2x-1\right)
D'après le cours, on sait que :
\cos\left(a\right) =\cos\left(b \right)\Leftrightarrow\begin{cases} a=b+k2\pi, k\in \mathbb{Z}\cr \cr a=-b+k2\pi, k\in \mathbb{Z}\ \end{cases}
Ici, en posant a = \dfrac {\pi}{2} -2 -x et b =2x-1, on obtient :
\sin\left(x+2\right)- \cos \left(2x-1\right) = 0\Leftrightarrow\begin{cases} \dfrac{\pi}{2}-2-x=2x-1+k2\pi, k\in \mathbb{Z}\cr \cr \dfrac{\pi}{2}-2-x=\pi -\left(2x-1\right)+k2\pi, k\in \mathbb{Z}\ \end{cases}
\begin{cases} -3x=1-\dfrac{\pi}{2}+k2\pi, k\in \mathbb{Z}\cr \cr x=\dfrac{\pi}{2} +3+k2\pi, k\in \mathbb{Z}\ \end{cases}
\begin{cases} x=\dfrac{-1}{3}+\dfrac{\pi}{6}+k\dfrac{2\pi}{3}, k\in \mathbb{Z}\cr \cr x=\dfrac{\pi}{2} +3+k2\pi, k\in \mathbb{Z}\ \end{cases}
S = \left\{\dfrac{-1}{3}+\dfrac{\pi}{6}+k\dfrac{2\pi}{3};3+\dfrac{\pi}{2}+k2\pi\right\}
Résoudre l'équation trigonométrique suivante sur \mathbb{R} :
\sin\left(3x-\pi\right)= \cos \left(\dfrac{\pi}{3}\right)
D'après le cours, on sait que :
\cos\left(a\right) = \sin\left(\dfrac{\pi}{2}-a\right)
On en déduit ici que \cos\left(\dfrac{\pi}{3}\right) = \sin\left(\dfrac{\pi}{2}-\dfrac{\pi}{3}\right)= \sin\left(\dfrac{\pi}{6}\right).
L'équation \sin\left(3x-\pi\right)= \cos \left(\dfrac{\pi}{3}\right) devient ainsi :
\sin\left(3x-\pi\right)= \sin \left(\dfrac{\pi}{6}\right)
D'après le cours, on sait que :
\sin\left(a\right) =\sin\left(b \right)\Leftrightarrow\begin{cases} a=b+k2\pi, k\in \mathbb{Z}\cr \cr a=\pi-b+k2\pi, k\in \mathbb{Z}\ \end{cases}
Ici, en posant a =3x-\pi et b =\dfrac{\pi}{6}, on obtient :
\sin\left(3x-\pi\right)= \cos \left(\dfrac{\pi}{3}\right) \Leftrightarrow\begin{cases}3x-\pi=\dfrac{\pi}{6}+k2\pi, k\in \mathbb{Z}\cr \cr 3x-\pi=\pi -\dfrac{\pi}{6}+k2\pi, k\in \mathbb{Z}\ \end{cases}
\begin{cases}3x=\dfrac{7\pi}{6}+k2\pi, k\in \mathbb{Z}\cr \cr 3x=\dfrac{11\pi}{6}+k2\pi, k\in \mathbb{Z}\ \end{cases}
\begin{cases} x=\dfrac{7\pi}{18}+k\dfrac{2\pi}{3}, k\in \mathbb{Z}\cr \cr x=\dfrac{11\pi}{18}+k\dfrac{2\pi}{3},, k\in \mathbb{Z}\ \end{cases}
S = \left\{\dfrac{7\pi}{18}+k\dfrac{2\pi}{3};\dfrac{11\pi}{18}+k\dfrac{2\pi}{3},\right\}
Résoudre l'équation trigonométrique suivante sur \mathbb{R} :
\sin\left(2x\right) =\cos \left(\dfrac{\pi}{6}\right)
D'après le cours, on sait que :
\cos\left(a\right) = \sin \left(\dfrac{\pi}{2}-a\right)
On en déduit ici que \cos\left(\dfrac{\pi}{6}\right) = \sin \left(\dfrac{\pi}{2}-\dfrac{\pi}{6}\right) = \sin\left(\dfrac{\pi}{3}\right).
L'équation \sin\left(2x\right) =\cos \left(\dfrac{\pi}{6}\right) devient ainsi :
\sin\left(2x\right) =\sin\left(\dfrac{\pi}{3}\right)
D'après le cours, on sait que :
\sin\left(a\right) =\sin\left(b \right)\Leftrightarrow\begin{cases} a=b+k2\pi, k\in \mathbb{Z}\cr \cr a=\pi-b+k2\pi, k\in \mathbb{Z}\ \end{cases}
Ici, en posant a = 2x et b = \dfrac{\pi}{3}, on obtient :
\sin\left(2x\right) =\sin\left(\dfrac{\pi}{3}\right)\Leftrightarrow\begin{cases} 2x=\dfrac{\pi}{3}+k2\pi, k\in \mathbb{Z}\cr \cr2 x=\pi-\dfrac{\pi}{3}+k2\pi, k\in \mathbb{Z}\ \end{cases}
\Leftrightarrow\begin{cases} x=\dfrac{\pi}{6}+k\pi, k\in \mathbb{Z}\cr \cr x=\dfrac{\pi}{3}+k\pi, k\in \mathbb{Z}\ \end{cases}
S = \left\{ \dfrac{\pi}{6}+k\pi; \dfrac{\pi}{3}+k\pi \right\}