A l'aide des formules de duplication, développer \sin\left(6x\right) .
D'après le cours on sait que :
\sin\left(2a\right) = 2\cos\left(a\right)\sin\left(a\right)
En posant a =3x, on obtient :
\sin\left(2\times 3x\right) = 2\cos\left(3x\right)\sin\left(3x\right)
Ainsi, pour tout réel x, \sin\left(6x\right) = 2\cos\left(3x\right)\sin\left(3x\right)
A l'aide des formules de duplication, développer \cos\left(6x\right).
D'après le cours on sait que :
\cos\left(2a\right) = 1-2sin^2\left(a\right)
En posant a =3x, on obtient :
\cos\left(2\times 3x\right) = 1-2sin^2\left(3x\right)
Ainsi, pour tout réel x, \cos\left(6x\right) = 1-2sin^2\left(3x\right)
A l'aide des formules de duplication, développer \cos\left(7t\right).
D'après le cours on sait que :
\cos\left(a+b\right) = \cos\left(a\right)\cos\left(b\right) -\sin\left(a\right)\sin\left(b\right)
En posant a =6t et b = t, on obtient :
\cos\left(6t+t\right) =\cos\left(6t\right)\cos\left(t\right)-\sin\left(6t\right)\sin\left(t\right)
Ainsi, pour tout réel t, \cos\left(6t+t\right) =\cos\left(6t\right)\cos\left(t\right)-\sin\left(6t\right)\sin\left(t\right)
A l'aide des formules de duplication, développer \sin\left(7t\right).
D'après le cours on sait que :
\sin\left(a-b\right) = \sin\left(a\right)\cos\left(b\right) -\cos\left(a\right)\sin\left(b\right)
En posant a =10t et b = 3t, on obtient :
\sin\left(10t-3t\right) =\sin\left(10t\right)\cos\left(3t\right)-\cos\left(10t\right)\sin\left(3t\right)
Ainsi, pour tout réel t, \sin\left(7t\right) = \sin\left(10t\right)\cos\left(3t\right) - \cos\left(10t\right)\sin\left(3t\right)
A l'aide des formules de duplication, développer \cos\left(5t\right).
D'après le cours on sait que :
\cos\left(a-b\right) = \cos\left(a\right)\cos\left(b\right) +\sin\left(a\right)\sin\left(b\right)
En posant a =7t et b = 2t, on obtient :
\cos\left(7t-2t\right) =\cos\left(7t\right)\cos\left(2t\right)-\sin\left(7t\right)\sin\left(2t\right)
Ainsi, pour tout réel t, \cos\left(5t\right) = \cos\left(7t\right)\cos\left(2t\right) + \sin\left(7t\right)\sin\left(2t\right)
A l'aide des formules de duplication, développer \sin\left(8t\right).
D'après le cours on sait que :
\sin\left(a+b\right) = \sin\left(a\right)\cos\left(b\right) +\cos\left(a\right)\sin\left(b\right)
En posant a =6t et b = 2t, on obtient :
\sin\left(6t+2t\right) =\sin\left(6t\right)\cos\left(2t\right)+\cos\left(6t\right)\sin\left(2t\right)
Ainsi, pour tout réel t, \sin\left(8t\right) = \sin\left(6t\right)\cos\left(2t\right) + \cos\left(6t\right)\sin\left(2t\right)
A l'aide des formules de duplication, développer \sin\left(3x\right).
D'après le cours on sait que :
\sin\left(a+b\right) = \sin\left(a\right)\cos\left(b\right)+\cos\left(a\right)\sin\left(b\right)
En posant a =2x et b= x, on obtient :
\sin\left(2x+x\right) = \sin\left(2x\right)\cos\left(x\right)+\cos\left(2x\right)\sin\left(x\right)
Or, d'après le cours on sait que :
\sin\left(2a\right) = 2\cos\left(a\right)\sin\left(a\right)
et \cos\left(2a\right) = 1-2sin^2\left(a\right)
En posant a =x, on obtient :
\sin\left(3x\right) = 2\cos\left(x\right)\sin\left(x\right)\cos\left(x\right)+\left(1-2sin^2\left(x\right)\right)\sin\left(x\right)
\sin\left(3x\right) = 2cos^2\left(x\right)\sin\left(x\right)+\sin\left(x\right) -2sin^3\left(x\right)
Enfin, d'après le cours on sait que :
cos^2\left(x\right) +sin^2\left(x\right) = 1
On en déduit que cos^2\left(x\right) =1-sin^2\left(x\right)
En remplaçant dans l'expression précédente on obtient :
\sin\left(3x\right) = 2\left(1-sin^2\left(x\right)\right)\sin\left(x\right)+\sin\left(x\right) -2sin^3\left(x\right)
\sin\left(3x\right) = 2\sin\left(x\right)-2sin^3\left(x\right)+\sin\left(x\right) -2sin^3\left(x\right)
Ainsi, pour tout réel x, \sin\left(3x\right) = 3\sin\left(x\right)-4sin^3\left(x\right)