Calculer un sinus ou un cosinus à l'aide de leurs propriétés de symétrie Exercice

On a :

\dfrac{7\pi}{6} = \dfrac{6\pi + \pi}{6} = \pi + \dfrac{\pi}{6}

Or, d'après le cercle trigonométrique, on sait que :

• \cos\left(\pi + \dfrac{\pi}{6}\right) = -\cos\left(\dfrac{\pi}{6}\right)
• \sin\left(\pi + \dfrac{\pi}{6}\right) = -\sin\left(\dfrac{\pi}{6}\right)

Or on a :

• \cos\left(\dfrac{\pi}{6}\right) = \dfrac{\sqrt{3}}{2}, d'où \cos\left(\dfrac{7\pi}{6}\right) = -\dfrac{\sqrt{3}}{2}
• \sin\left(\dfrac{\pi}{6}\right) = \dfrac{1}{2}, d'où \sin\left(\dfrac{7\pi}{6}\right) = -\dfrac{1}{2}

On a :

\dfrac{5\pi}{6} = \dfrac{6\pi - \pi}{6} = \pi - \dfrac{\pi}{6}

Or, d'après le cercle trigonométrique, on sait que :

• \cos\left(\pi - \dfrac{\pi}{6}\right) = -\cos\left(\dfrac{\pi}{6}\right)
• \sin\left(\pi - \dfrac{\pi}{6}\right) = \sin\left(\dfrac{\pi}{6}\right)

Or, on a :

• \cos\left(\dfrac{\pi}{6}\right) = \dfrac{\sqrt{3}}{2}, d'où \cos\left(\dfrac{5\pi}{6}\right) = -\dfrac{\sqrt{3}}{2}
• \sin\left(\dfrac{\pi}{6}\right) = \dfrac{1}{2}, d'où \sin\left(\dfrac{5\pi}{6}\right) = \dfrac{1}{2}

On a :

\dfrac{3\pi}{4} = \dfrac{4\pi - \pi}{4} = \pi - \dfrac{\pi}{4}.

Or, d'après le cercle trigonométrique, on sait que :

• \cos\left(\pi - \dfrac{\pi}{4}\right) = -\cos\left(\dfrac{\pi}{4}\right)
• \sin\left(\pi - \dfrac{\pi}{4}\right) = \sin\left(\dfrac{\pi}{4}\right)

Or, on a :

• \cos\left(\dfrac{\pi}{4}\right) = \dfrac{\sqrt{2}}{2}, d'où \cos\left(\dfrac{3\pi}{4}\right) = -\dfrac{\sqrt{2}}{2}
• \sin\left(\dfrac{\pi}{4}\right) = \dfrac{\sqrt{2}}{2}, d'où \sin\left(\dfrac{3\pi}{4}\right) = \dfrac{\sqrt{2}}{2}

On a :

-\dfrac{3 \pi}{4}+2\pi = \dfrac{5\pi}{4} = \pi + \dfrac{\pi}{4}

Or, d'après le cercle trigonométrique, on sait que :

• \cos\left(\pi +\dfrac{\pi}{4}\right) = -\cos\left(\dfrac{\pi}{4}\right)
• \sin\left(\pi + \dfrac{\pi}{4}\right) =- \sin\left(\dfrac{\pi}{4}\right).

Or, on a :

• \cos\left(\dfrac{\pi}{4}\right) = \dfrac{\sqrt{2}}{2}, d'où \cos\left(-\dfrac{3\pi}{4}\right) = \cos\left(\dfrac{5\pi}{4}\right) = -\dfrac{\sqrt{2}}{2}
• \sin\left(\dfrac{\pi}{4}\right) = \dfrac{\sqrt{2}}{2}, d'où \sin\left(-\dfrac{3\pi}{4}\right) = \sin\left(\dfrac{5\pi}{4}\right) = -\dfrac{\sqrt{2}}{2}

On a :

\dfrac{4\pi}{3} = \dfrac{3\pi + \pi}{3} = \pi + \dfrac{\pi}{3}

Or, d'après le cercle trigonométrique :

• \cos\left(\pi + \dfrac{\pi}{3}\right) = -\cos\left(\dfrac{\pi}{3}\right)
• \sin\left(\pi + \dfrac{\pi}{3}\right) = -\sin\left(\dfrac{\pi}{3}\right).

Or, on sait que :

• \cos\left(\dfrac{\pi}{3}\right) = \dfrac{1}{2}, d'où \cos\left(\dfrac{4\pi}{3}\right) = -\dfrac{1}{2}
• \sin\left(\dfrac{\pi}{3}\right) = \dfrac{\sqrt{3}}{2}, d'où \sin\left(\dfrac{4\pi}{3}\right) = -\dfrac{\sqrt{3}}{2}

On a :

-\dfrac{4\pi}{3} +2\pi =\dfrac{-4\pi+6\pi}{3} = \dfrac{2\pi}{3} = \pi - \dfrac{\pi}{3}

Or, d'après le cercle trigonométrique, on sait que :

• \cos\left(\pi - \dfrac{\pi}{3}\right) = -\cos\left(\dfrac{\pi}{3}\right)
• \sin\left(\pi - \dfrac{\pi}{3}\right) = \sin\left(\dfrac{\pi}{3}\right).

Or, on a :

• \cos\left(\dfrac{\pi}{3}\right) = \dfrac{1}{2}, d'où \cos\left(-\dfrac{4\pi}{3}\right) = \cos\left(\pi -\dfrac{\pi}{3}\right) = -\dfrac{1}{2}
• \sin\left(\dfrac{\pi}{3}\right) = \dfrac{\sqrt{3}}{2}, d'où \sin\left(-\dfrac{4\pi}{3}\right) = \sin\left(\pi-\dfrac{\pi}{3}\right) = \dfrac{\sqrt{3}}{2}

On a :

\dfrac{2\pi}{3} = \dfrac{3\pi - \pi}{3} = \pi - \dfrac{\pi}{3}.

Or,d'après le cercle trigonométrique, on sait que :

• \cos\left(\pi - \dfrac{\pi}{3}\right) = -\cos\left(\dfrac{\pi}{3}\right)
• \sin\left(\pi - \dfrac{\pi}{3}\right) = \sin\left(\dfrac{\pi}{3}\right).

Or, on a :

• \cos\left(\dfrac{\pi}{3}\right) = \dfrac{1}{2}, d'où \cos\left(\dfrac{2\pi}{3}\right) = -\dfrac{1}{2}
• \sin\left(\dfrac{\pi}{3}\right) = \dfrac{\sqrt{3}}{2}, d'où \sin\left(\dfrac{2\pi}{3}\right) = \dfrac{\sqrt{3}}{2}