Décider si un échantillon est représentatif d'une population de départ Exercice

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Dernière modification : 07/08/2019 - Conforme au programme 2019-2020

On sait que dans un pays A, 23% de la population a plus de 60 ans.

On considère un échantillon de 800 personnes dans cette population et on note X le nombre ayant plus de 60 ans. On note F = \dfrac{X}{800} la fréquence des personnes ayant plus de 60 ans dans l'échantillon.

Quelle loi suit la variable aléatoire X ?

X suit donc une loi binomiale de paramètres n=800 et p=0, 23.

X suit donc une loi binomiale de paramètres n=800 et p=0, 77.

X suit donc une loi normale de paramètres n=800 et p=0, 23.

X suit donc une loi normale de paramètres n=800 et p=0, 77.

L'expérience "donner l'âge d'une personne" a deux issues possibles :

Succès : l'individu a plus de 60 ans, obtenu avec la probabilité p = 0, 23.
Echec : l'individu a moins de 60 ans, obtenu avec la probabilité q = 1-p = 0{,}77.

Cette expérience est répétée 800 fois de manière indépendante.

X est la variable aléatoire qui dénombre les succès.

X suit donc une loi binomiale de paramètres n=800 et p=0, 23.

Pourquoi peut-on donner un intervalle de fluctuation asymptotique de la fréquence F ?

n=800 donc n \geq 30
np = 800 \times 0, 23 = 184 donc np \geq 5
n\left(1-p\right) = 200 \times 0{,}77 = 616 donc n\left(1-p\right) \geq 5

On peut donc déterminer un intervalle de fluctuation asymptotique de la fréquence.

n=800 donc n \geq 30
np = 800 \times 2{,}3 = 1\ 840 donc np \geq 5
n\left(1-p\right) = 200 \times 0{,}77 = 616 donc n\left(1-p\right) \geq 5

On peut donc déterminer un intervalle de fluctuation asymptotique de la fréquence.

n=800 donc n \geq 30
np = 800 \times 0{,}0 23 = 18{,}4 donc np \geq 5
n\left(1-p\right) = 200 \times 0{,}77 = 616 donc n\left(1-p\right) \geq 5

On peut donc déterminer un intervalle de fluctuation asymptotique de la fréquence.

n=800 donc n \geq 30
np = 800 \times 0, 23 = 184 donc np \geq 5
n\left(1-p\right) = 200 \times 0{,}077 = 61{,}6 donc n\left(1-p\right) \geq 5

On peut donc déterminer un intervalle de fluctuation asymptotique de la fréquence.

D'après le cours on sait qu'on peut déterminer un intervalle de fluctuation si les conditions suivantes sont satisfaites :

n \geq 30
np \geq 5
n\left(1-p\right) \geq 5

Ici, on a :

n=800 donc n \geq 30
np = 800 \times 0, 23 = 184 donc np \geq 5
n\left(1-p\right) = 200 \times 0{,}77 = 616 donc n\left(1-p\right) \geq 5

On peut donc déterminer un intervalle de fluctuation asymptotique de la fréquence.

Quelle proposition correspond à un intervalle de fluctuation de la fréquence F au seuil de 95% ?

I = \left[ 0, 201 ; 0, 259 \right]

I = \left[ 0, 199 ; 0, 247 \right]

I = \left[ 0, 351 ; 0, 429 \right]

I = \left[ 0, 456 ; 0, 579 \right]

D'après le cours, un intervalle de fluctuation à 95% de la fréquence vaut :

I = \left[ p-1{,}96 \dfrac{\sqrt{p\left(1-p\right)}}{\sqrt n};p+1{,}96 \dfrac{\sqrt{p\left(1-p\right)}}{\sqrt n} \right]

Ici, on a p = 0{,}23 et n = 800.

Donc on obtient :

I = \left[ 0{,}23-1{,}96 \dfrac{\sqrt{0{,}23\left(1-0{,}23\right)}}{\sqrt{800}};0{,}23+1{,}96 \dfrac{\sqrt{0{,}23\left(1-0{,}23\right)}}{\sqrt {800}} \right]

Et, après calculs :

I = \left[ 0, 201 ; 0, 259 \right]

L'intervalle de fluctuation asymptotique de la fréquence au seuil de 95% vaut I = \left[ 0, 201 ; 0, 259 \right].

Sur les 800 individus de l'échantillon, 205 ont plus de 60 ans.

Cet échantillon est-il représentatif ?

Au risque d'erreur de 5%, cet échantillon est représentatif de la population.

Au risque d'erreur de 5%, cet échantillon n'est pas représentatif de la population.

Au risque d'erreur de 5%, on ne peut pas conclure.

Sur les 800 individus de l'échantillon, 205 ont plus de 60 ans. On a donc une fréquence de :

F = \dfrac{205}{800}= 0{,}256.

Or la fréquence F fluctue à 95% dans l'intervalle I= \left[ 0, 201; 0, 259 \right].

On a 0{,}256 \in I.

On peut conclure, au risque d'erreur de 5%, que cet échantillon est représentatif de la population.