On sait que dans une ville A, 48% de la population se déplace en transports communs.
On considère un échantillon de 70 personnes dans cette population et on note X le nombre se déplaçant en transports communs. On note F = \dfrac{X}{70} la fréquence des personnes se déplaçant en transports communs.
Quelle loi suit la variable aléatoire X ?
L'expérience "donner le moyen de transport d'une personne" a deux issues possibles :
- Succès : l'individu se déplace en transports communs, obtenu avec la probabilité p = 0, 48.
- Echec : l'individu ne se déplace pas en transports communs, obtenu avec la probabilité q = 1-p = 0{,}52.
Cette expérience est répétée 70 fois de manière indépendante.
X est la variable aléatoire qui dénombre les succès.
X suit donc une loi binomiale de paramètres n=70 et p=0, 48.
Pourquoi peut-on donner un intervalle de fluctuation asymptotique de la fréquence F ?
D'après le cours on sait qu'on peut déterminer un intervalle de fluctuation si les conditions suivantes sont satisfaites :
- n \geq 30
- np \geq 5
- n\left(1-p\right) \geq 5
Ici, on a :
- n=70 donc n \geq 30
- np = 70 \times 0, 48 = 33{,}6 donc np \geq 5
- n\left(1-p\right) = 70 \times 0, 52 = 36{,}4 donc n\left(1-p\right) \geq 5
On peut donc déterminer un intervalle de fluctuation asymptotique de la fréquence.
Quelle proposition correspond à un intervalle de fluctuation de la fréquence F au seuil de 95% ?
D'après le cours, un intervalle de fluctuation à 95% de la fréquence vaut :
I = \left[ p-1{,}96 \dfrac{\sqrt{p\left(1-p\right)}}{\sqrt n};p+1{,}96 \dfrac{\sqrt{p\left(1-p\right)}}{\sqrt n} \right]
Ici, on a p = 0{,}48 et n = 70.
Donc on obtient :
I = \left[ 0{,}48-1{,}96 \dfrac{\sqrt{0, 48\left(1-0, 48\right)}}{\sqrt{70}};0, 48+1{,}96 \dfrac{\sqrt{0{,}48\left(1-0, 48\right)}}{\sqrt {70}} \right]
Et, après calculs :
I = \left[ 0, 363 ; 0, 597 \right]
L'intervalle de fluctuation asymptotique de la fréquence au seuil de 95% vaut I = \left[ 0, 363 ; 0, 597 \right].
Sur les 70 individus de l'échantillon, 44 se déplacent en transports en commun.
Cet échantillon est-il représentatif ?
Sur les 70 individus de l'échantillon, 44 se déplacent en transports communs. On a donc une fréquence de :
F = \dfrac{44}{70} \approx 0, 629.
Or la fréquence F fluctue à 95% dans l'intervalle I = \left[ 0, 363 ; 0, 597 \right].
On a 0{,}629 \notin I.
On peut conclure, au risque d'erreur de 5%, que cet échantillon n'est pas représentatif de la population.