Décider si un échantillon est représentatif d'une population de départ Exercice

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Dernière modification : 07/08/2019 - Conforme au programme 2019-2020

On sait que dans un lac A, 82% des poissons sont des truites.

On considère un échantillon de 350 poissons dans cette population et on note X le nombre de truites. On note F = \dfrac{X}{350} la fréquence des truites.

Quelle loi suit la variable aléatoire X ?

X suit donc une loi binomiale de paramètres n=350 et p=0, 82.

X suit donc une loi binomiale de paramètres n=350 et p=0, 18.

X suit donc une loi normale de paramètres n=350 et p=0, 82.

X suit donc une loi normale de paramètres n=350 et p=0, 18.

L'expérience "donner l'espèce du poisson" a deux issues possibles :

Succès : le poisson est uen truite, obtenu avec la probabilité p = 0, 82.
Echec : le poisson n'est pas une truite, obtenu avec la probabilité q = 1-p = 0, 18.

Cette expérience est répétée 350 fois de manière indépendante.

X est la variable aléatoire qui dénombre les succès.

X suit donc une loi binomiale de paramètres n=350 et p=0, 82.

Pourquoi peut-on donner un intervalle de fluctuation asymptotique de la fréquence F ?

n=350 donc n \geq 30
np = 350 \times 0, 82= 287 donc np \geq 5
n\left(1-p\right) = 350 \times 0, 18 = 63 donc n\left(1-p\right) \geq 5

On peut donc déterminer un intervalle de fluctuation asymptotique de la fréquence.

n=35 donc n \geq 30
np = 350 \times 0, 82= 287 donc np \geq 5
n\left(1-p\right) = 350 \times 0, 18 = 63 donc n\left(1-p\right) \geq 5

On peut donc déterminer un intervalle de fluctuation asymptotique de la fréquence.

n=350 donc n \geq 30
np = 350 \times 0, 082= 28{,}7 donc np \geq 5
n\left(1-p\right) = 350 \times 0, 18 = 63 donc n\left(1-p\right) \geq 5

On peut donc déterminer un intervalle de fluctuation asymptotique de la fréquence.

n=350 donc n \geq 30
np = 350 \times 0, 82= 287 donc np \geq 5
n\left(1-p\right) = 350 \times 0, 018 = 6{,}3 donc n\left(1-p\right) \geq 5

On peut donc déterminer un intervalle de fluctuation asymptotique de la fréquence.

D'après le cours on sait qu'on peut déterminer un intervalle de fluctuation si les conditions suivantes sont satisfaites :

n \geq 30
np \geq 5
n\left(1-p\right) \geq 5

Ici, on a :

n=350 donc n \geq 30
np = 350 \times 0, 82= 287 donc np \geq 5
n\left(1-p\right) = 350 \times 0, 18 = 63 donc n\left(1-p\right) \geq 5

On peut donc déterminer un intervalle de fluctuation asymptotique de la fréquence.

Quelle proposition correspond à un intervalle de fluctuation de la fréquence F au seuil de 95% ?

I = \left[ 0, 780 ; 0, 859 \right]

I = \left[ 0, 730 ; 0, 879 \right]

I = \left[ 0, 795 ; 0, 863 \right]

Proposition I = \left[ 0, 960 ; 0, 989 \right]

D'après le cours, un intervalle de fluctuation à 95% de la fréquence vaut :

I = \left[ p-1{,}96 \dfrac{\sqrt{p\left(1-p\right)}}{\sqrt n};p+1{,}96 \dfrac{\sqrt{p\left(1-p\right)}}{\sqrt n} \right]

Ici, on a p = 0{,}82 et n =350.

Donc on obtient :

I = \left[ 0, 82-1{,}96 \dfrac{\sqrt{0, 82\left(1-0, 82\right)}}{\sqrt{350}};0, 82+1{,}96 \dfrac{\sqrt{0{,}82\left(1-0, 82\right)}}{\sqrt {350}} \right]

Et, après calculs :

I = \left[ 0, 780 ; 0, 859 \right]

L'intervalle de fluctuation asymptotique de la fréquence au seuil de 95% vaut I = \left[ 0, 780 ; 0, 859 \right].

Sur les 350 poissons de l'échantillon, 267 sont des truites.

Cet échantillon est-il représentatif ?

Au risque d'erreur de 5%, cet échantillon n'est pas représentatif de la population.

Au risque d'erreur de 5%, cet échantillon est représentatif de la population.

Au risque d'erreur de 5%, on ne peut pas conclure.

Sur les 350 poissons de l'échantillon, 267 sont des truites. On a donc une fréquence de :

F = \dfrac{267}{350} \approx 0, 763.

Or la fréquence F fluctue à 95% dans l'intervalle I = \left[ 0, 760 ; 0, 840 \right].

On a 0, 763 \notin I.

On peut conclure, au risque d'erreur de 5%, que cet échantillon n'est pas représentatif de la population.