On sait que dans un magasin A, 73% des pâtes vendues dans l'année sont de marque B.
On considère un échantillon de 130 sachets de pâtes dans cette population et on note X le nombre de sachets de la marque B. On note F = \dfrac{X}{130} la fréquence des chômeurs.
Quelle loi suit la variable aléatoire X ?
L'expérience "choisir un sachet de pâtes" a deux issues possibles :
- Succès : le sachet est de la marque A, obtenu avec la probabilité p = 0, 73.
- Echec : le sachet n'est pas de la marque A, obtenu avec la probabilité q = 1-p = 0, 27.
Cette expérience est répétée 130 fois de manière indépendante.
X est la variable aléatoire qui dénombre les succès.
X suit donc une loi binomiale de paramètres n=130 et p=0, 73.
Pourquoi peut-on donner un intervalle de fluctuation asymptotique de la fréquence F ?
D'après le cours on sait qu'on peut déterminer un intervalle de fluctuation si les conditions suivantes sont satisfaites :
- n \geq 30
- np \geq 5
- n\left(1-p\right) \geq 5
Ici, on a :
- n=130 donc n \geq 30
- np = 130 \times 0, 7= 94{,}9 donc np \geq 5
- n\left(1-p\right) = 130 \times 0, 27 = 35{,}1 donc n\left(1-p\right) \geq 5
On peut donc déterminer un intervalle de fluctuation asymptotique de la fréquence.
Quelle proposition correspond à un intervalle de fluctuation de la fréquence F au seuil de 95% ?
D'après le cours, un intervalle de fluctuation à 95% de la fréquence vaut :
I = \left[ p-1{,}96 \dfrac{\sqrt{p\left(1-p\right)}}{\sqrt n};p+1{,}96 \dfrac{\sqrt{p\left(1-p\right)}}{\sqrt n} \right]
Ici, on a p = 0{,}73 et n =120.
Donc on obtient :
I = \left[ 0, 73-1{,}96 \dfrac{\sqrt{0, 73\left(1-0, 73\right)}}{\sqrt{130}};0, 73+1{,}96 \dfrac{\sqrt{0{,}73\left(1-0, 73\right)}}{\sqrt {130}} \right]
Et, après calculs :
I = \left[ 0, 654 ; 0, 806 \right]
L'intervalle de fluctuation asymptotique de la fréquence au seuil de 95% vaut I = \left[ 0, 654 ; 0, 806 \right].
Sur les 130 sachets de pâtes de l'échantillon, 55 sont des sachets de pâtes de la marque A.
Cet échantillon est-il représentatif ?
Sur les 130 sachets de pâtes de l'échantillon, 55 sont de marque A. On a donc une fréquence de :
F = \dfrac{55}{130} \approx 0, 423.
Or la fréquence F fluctue à 95% dans l'intervalle I = \left[ 0, 654 ; 0, 806 \right].
On a 0, 423 \notin I.
On peut conclure, au risque d'erreur de 5%, que cet échantillon n'est pas représentatif de la population.