Décider si un échantillon est représentatif d'une population de départ Exercice

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Dernière modification : 07/08/2019 - Conforme au programme 2019-2020

On sait que dans un pays A, les chômeurs représentent 10% de la population.

On considère un échantillon de 580 individus dans cette population et on note X le nombre de chômeurs. On note F = \dfrac{X}{580} la fréquence des chômeurs.

Quelle loi suit la variable aléatoire X ?

X suit donc une loi binomiale de paramètres n=580 et p=0, 1.

X suit donc une loi normale de paramètres n=580 et p=0, 1.

X suit donc une loi binomiale de paramètres n=580 et p=0, 9.

X suit donc une loi normale de paramètres n=580 et p=0, 9.

L'expérience "choisir un individu" a deux issues possibles :

Succès : l'individu est au chômage, obtenu avec la probabilité p = 0, 1.
Echec : l'individu n'est pas au chômage, obtenu avec la probabilité q = 1-p = 0, 9.

Cette expérience est répétée 580 fois de manière indépendante.

X est la variable aléatoire qui dénombre les succès.

X suit donc une loi binomiale de paramètres n=580 et p=0, 1.

Pourquoi peut-on donner un intervalle de fluctuation asymptotique de la fréquence F ?

n=580 donc n \geq 30
np = 580 \times 0, 1= 58 donc np \geq 5
n\left(1-p\right) = 580 \times 0, 9 = 522 donc n\left(1-p\right) \geq 5

On peut donc déterminer un intervalle de fluctuation asymptotique de la fréquence.

n=580 donc n \geq 30
np = 580 \times 0, 01= 5{,}8 donc np \geq 5
n\left(1-p\right) = 580 \times 0, 9 = 522 donc n\left(1-p\right) \geq 5

On peut donc déterminer un intervalle de fluctuation asymptotique de la fréquence.

n=58 donc n \geq 30
np = 580 \times 0, 1= 58 donc np \geq 5
n\left(1-p\right) = 580 \times 0, 9 = 522 donc n\left(1-p\right) \geq 5

On peut donc déterminer un intervalle de fluctuation asymptotique de la fréquence.

n=580 donc n \geq 30
np = 580 \times 0, 1= 58 donc np \geq 5
n\left(1-p\right) = 580 \times 0, 09 = 52{,}2 donc n\left(1-p\right) \geq 5

On peut donc déterminer un intervalle de fluctuation asymptotique de la fréquence.

D'après le cours on sait qu'on peut déterminer un intervalle de fluctuation si les conditions suivantes sont satisfaites :

n \geq 30
np \geq 5
n\left(1-p\right) \geq 5

Ici, on a :

n=580 donc n \geq 30
np = 580 \times 0, 1= 58 donc np \geq 5
n\left(1-p\right) = 580 \times 0, 9 = 522 donc n\left(1-p\right) \geq 5

On peut donc déterminer un intervalle de fluctuation asymptotique de la fréquence.

Quelle proposition correspond à un intervalle de fluctuation de la fréquence F au seuil de 95% ?

I = \left[ 0, 076 ; 0, 124 \right]

I = \left[ 0, 07 ; 0, 243\right]

I = \left[ 0, 765 ; 0, 843 \right]

I = \left[ 0, 008 ; 0, 136 \right]

D'après le cours, un intervalle de fluctuation à 95% de la fréquence vaut :

I = \left[ p-1{,}96 \dfrac{\sqrt{p\left(1-p\right)}}{\sqrt n};p+1{,}96 \dfrac{\sqrt{p\left(1-p\right)}}{\sqrt n} \right]

Ici, on a p = 0{,}1 et n =580.

Donc on obtient :

I = \left[ 0, 1-1{,}96 \dfrac{\sqrt{0, 1\left(1-0, 1\right)}}{\sqrt{580}};0, 1+1{,}96 \dfrac{\sqrt{0{,}1\left(1-0, 1\right)}}{\sqrt {580}} \right]

Et, après calculs :

I = \left[ 0, 076 ; 0, 124 \right]

L'intervalle de fluctuation asymptotique de la fréquence au seuil de 95% vaut I = \left[ 0, 076 ; 0, 124 \right].

Sur les 580 individus de l'échantillon, 50 sont des chômeurs.

Cet échantillon est-il représentatif ?

Au risque d'erreur de 5%, cet échantillon est représentatif de la population.

Au risque d'erreur de 5%, cet échantillon n'est pas représentatif de la population.

Au risque d'erreur de 5%, on ne peut pas conclure.

Sur les 580 individus de l'échantillon, 50 sont au chômage. On a donc une fréquence de :

F = \dfrac{50}{580} \approx 0, 086.

Or la fréquence F fluctue à 95% dans l'intervalle I = \left[ 0, 076 ; 0, 124 \right].

On a 0, 086 \in I.

On peut conclure, au risque d'erreur de 5%, que cet échantillon est représentatif de la population.