Décider si un échantillon est représentatif d'une population de départ Exercice

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Dernière modification : 07/08/2019 - Conforme au programme 2019-2020

On sait que dans un pays A, 34% des individus fument régulièrement.

On considère un échantillon de 65 individus dans cette population et on note X le nombre de fumeurs. On note F = \dfrac{X}{65} la fréquence des fumeurs.

Quelle loi suit la variable aléatoire X ?

X suit donc une loi binomiale de paramètres n=65 et p=0, 34.

X suit donc une loi normale de paramètres n=65 et p=0, 34.

X suit donc une loi normiale de paramètres n=65 et p=0, 66.

X suit donc une loi binomiale de paramètres n=65 et p=0, 66.

L'expérience "choisir un individu" a deux issues possibles :

Succès : l'individu fume, obtenu avec la probabilité p = 0, 34.
Echec : l'individu ne fume pas, obtenu avec la probabilité q = 1-p = 0, 66.

Cette expérience est répétée 65 fois de manière indépendante.

X est la variable aléatoire qui dénombre les succès.

X suit donc une loi binomiale de paramètres n=65 et p=0, 34.

Pourquoi peut-on donner un intervalle de fluctuation asymptotique de la fréquence F ?

n=65 donc n \geq 30
np = 65 \times 0, 34= 22{,}1 donc np \geq 5
n\left(1-p\right) = 65 \times 0, 66 = 42{,}9 donc n\left(1-p\right) \geq 5
On peut donc déterminer un intervalle de fluctuation asymptotique de la fréquence.

n=65 donc n \geq 30
np = 65 \times 0, 34= 22{,}1 donc np \geq 5
n\left(1-p\right) = 65 \times 6{,}6 = 429 donc n\left(1-p\right) \geq 5
On peut donc déterminer un intervalle de fluctuation asymptotique de la fréquence.

n=65 donc n \geq 30
np = 65 \times 3{,}4= 221 donc np \geq 5
n\left(1-p\right) = 65 \times 0, 66 = 42{,}9 donc n\left(1-p\right) \geq 5
On peut donc déterminer un intervalle de fluctuation asymptotique de la fréquence.

n=650 donc n \geq 30
np = 65 \times 0, 34= 22{,}1 donc np \geq 5
n\left(1-p\right) = 65 \times 0, 66 = 42{,}9 donc n\left(1-p\right) \geq 5
On peut donc déterminer un intervalle de fluctuation asymptotique de la fréquence.

D'après le cours on sait qu'on peut déterminer un intervalle de fluctuation si les conditions suivantes sont satisfaites :

n \geq 30
np \geq 5
n\left(1-p\right) \geq 5

Ici, on a :

n=65 donc n \geq 30
np = 65 \times 0, 34= 22{,}1 donc np \geq 5
n\left(1-p\right) = 65 \times 0, 66 = 42{,}9 donc n\left(1-p\right) \geq 5

On peut donc déterminer un intervalle de fluctuation asymptotique de la fréquence.

Quelle proposition correspond à un intervalle de fluctuation de la fréquence F au seuil de 95% ?

I = \left[ 0, 345 ; 0, 548 \right]

I = \left[ 0, 25 ; 0, 45 \right]

I = \left[ 0, 2 ; 0, 3 \right]

I = \left[ 0, 225 ; 0, 455 \right]

D'après le cours, un intervalle de fluctuation à 95% de la fréquence vaut :

I = \left[ p-1{,}96 \dfrac{\sqrt{p\left(1-p\right)}}{\sqrt n};p+1{,}96 \dfrac{\sqrt{p\left(1-p\right)}}{\sqrt n} \right]

Ici, on a p = 0, 34 et n =65.

Donc on obtient :

I = \left[ 0, 34-1{,}96 \dfrac{\sqrt{0, 34\left(1-0, 34\right)}}{\sqrt{65}};0, 34+1{,}96 \dfrac{\sqrt{0{,}34\left(1-0, 34\right)}}{\sqrt {65}} \right]

Et, après calculs :

I = \left[ 0, 225 ; 0, 455 \right]

L'intervalle de fluctuation asymptotique de la fréquence au seuil de 95% vaut I = \left[ 0, 225 ; 0, 455 \right].

Sur les 65 individus de l'échantillon, 31 fument.

Cet échantillon est-il représentatif ?

AU risque d'erreur de 5%, cet échantillon n'est pas représentatif de la population.

AU risque d'erreur de 5%,on ne peut pas conclure.

AU risque d'erreur de 5%, cet échantillon est représentatif de la population.

Sur les 65 individus de l'échantillon, 31 sont des fumeurs. On a donc une fréquence de :

F = \dfrac{31}{65} \approx 0, 477.

Or la fréquence F fluctue à 95% dans l'intervalle I = \left[ 0, 225 ; 0, 455 \right].

On a 0, 477 \notin I.

On peut conclure, au risque d'erreur de 5%, que cet échantillon n'est pas représentatif de la population.