On sait que dans une usine fabricant des ballons, 60% sont des ballons de football.
On considère un échantillon de 2225 ballons dans cette population et on note X le nombre de ballons de football. On note F = \dfrac{X}{2\ 225} la fréquence des ballons de football.
Quelle loi suit la variable aléatoire X ?
L'expérience "choisir un ballon" a deux issues possibles :
- Succès : le ballon est un ballon de football, obtenu avec la probabilité p = 0, 6.
- Echec : le ballon n'est pas un ballon de football, obtenu avec la probabilité q = 1-p = 0, 4.
Cette expérience est répétée 2225 fois de manière indépendante.
X est la variable aléatoire qui dénombre les succès.
X suit donc une loi binomiale de paramètres n=2\ 225 et p=0, 6.
Pourquoi peut-on donner un intervalle de fluctuation asymptotique de la fréquence F ?
D'après le cours on sait qu'on peut déterminer un intervalle de fluctuation si les conditions suivantes sont satisfaites :
- n \geq 30
- np \geq 5
- n\left(1-p\right) \geq 5
Ici, on a :
- n=2\ 225 donc n \geq 30
- np = 2\ 225 \times 0, 6= 1\ 335 donc np \geq 5
- n\left(1-p\right) = 2\ 225 \times 0, 40 = 890 donc n\left(1-p\right) \geq 5
On peut donc déterminer un intervalle de fluctuation asymptotique de la fréquence.
Quelle proposition correspond à un intervalle de fluctuation de la fréquence F au seuil de 95% ?
D'après le cours, un intervalle de fluctuation à 95% de la fréquence vaut :
I = \left[ p-1{,}96 \dfrac{\sqrt{p\left(1-p\right)}}{\sqrt n};p+1{,}96 \dfrac{\sqrt{p\left(1-p\right)}}{\sqrt n} \right]
Ici, on a p = 0{,}6 et n =2\ 225.
Donc on obtient :
I = \left[ 0, 6-1{,}96 \dfrac{\sqrt{0, 6\left(1-0, 6\right)}}{\sqrt{2\ 225}};0, 6+1{,}96 \dfrac{\sqrt{0{,}6\left(1-0, 6\right)}}{\sqrt {2\ 225}} \right]
Et, après calculs :
I = \left[ 0, 580 ; 0, 620 \right]
L'intervalle de fluctuation asymptotique de la fréquence au seuil de 95% vaut I = \left[ 0, 580 ; 0, 620 \right].
Sur les 2225 ballons de l'échantillon, 1330 sont des ballons de football.
Cet échantillon est-il représentatif ?
Sur les 2225 ballons de l'échantillon, 1330 sont des ballons de football. On a donc une fréquence de :
F = \dfrac{1\ 330}{2\ 225} \approx 0, 598.
Or la fréquence F fluctue à 95% dans l'intervalle I = \left[ 0, 580 ; 0, 620 \right].
On a 0, 598 \in I.
On peut conclure, au risque d'erreur de 5%, que cet échantillon est représentatif de la population.