Soit f la fonction définie sur \mathbb{R^+} par :
f\left(x\right)=4x\sqrt{x}
Quelle est l'équation de la tangente T à \mathscr{C}_f au point d'abscisse a = 1 ?
Donner l'équation de la tangente
L'équation de la tangente à \mathscr{C}_f au point d'abscisse a est de la forme y=f'\left(a\right)\left(x-a\right)+f\left(a\right).
Donc T a pour équation :
y=f'\left(1\right)\left(x-1\right)+f\left(1\right)
Calculer f'\left(a\right)
f est dérivable sur \mathbb{R} en tant que produit de fonctions dérivables sur \mathbb{R}^+.
On a f=u\times v avec, pour tout x appartenant à \mathbb{R}^+ :
- u\left(x\right)=4x et u'\left(x\right)=4
- v\left(x\right)=\sqrt{x} et v'\left(x\right)=\dfrac{1}{2\sqrt{x}}
On a donc f'=u'v+uv'
Ainsi, pour tout x appartenant à \mathbb{R}^+ :
f'\left(x\right)=4\sqrt{x}+\dfrac{4x}{2\sqrt{x}}
f'\left(x\right)=4\sqrt{x}+2\sqrt{x}
f'\left(x\right)=6\sqrt{x}
Ainsi on a :
f'\left(1\right)=6\sqrt{1}
f'\left(1\right)=6
Calculer f\left(a\right)
De plus, pour tout réel positif x, f\left(x\right)=4x\sqrt{x}
On a donc :
f\left(1\right)=4\times1\times\sqrt{1}
f\left(1\right)=4
Faire l'application numérique
On obtient l'équation de la tangente :
\begin{aligned}\\y&=f'\left(1\right)\left(x-10\right)+f\left(1\right)\\&=6\left(x-1\right)+4 \\ &= 6x-6+4 \\ &= 6x-2\\\end{aligned}
L'équation de la tangente à \mathscr{C}_f au point d'abscisse 1 est y=6x-2.
Quelle est l'équation de la tangente à la courbe \mathscr{C}_f représentant la fonction f définie sur \mathbb{R} par f\left(x\right)=x^3-3x+1 au point d'abscisse a = 2 ?
Quelle est l'équation de la tangente à la courbe \mathscr{C}_f représentant la fonction f définie sur \mathbb{R} par f\left(x\right)=2x^5+3x au point d'abscisse a = 0 ?
Quelle est l'équation de la tangente à la courbe \mathscr{C}_f représentant la fonction f définie sur \mathbb{R} par f\left(x\right)=\sqrt{x}\left(2+x\right) au point d'abscisse a = 4 ?
Quelle est l'équation de la tangente à la courbe \mathscr{C}_f représentant la fonction f définie sur \mathbb{R} par f\left(x\right)=2\sqrt{x}+x^2 au point d'abscisse a = 1 ?
Quelle est l'équation de la tangente à la courbe \mathscr{C}_f représentant la fonction f définie sur \mathbb{R} par f\left(x\right)=\dfrac{x}{3+x^2} au point d'abscisse a = 1 ?