Quelle est la solution de l'équation suivante ?
5x^2-3x-1=0
On reconnaît une équation du second degré, on peut déterminer les solutions de cette équation en calculant les éventuelles racines de ce trinôme.
Calcul du discriminant
\Delta=b^2-4ac=\left(-3\right)^2-4\times5\times\left(-1\right)=9+20=29
\Delta\gt0 donc le trinôme possède deux racines distinctes, x_1 et x_2.
Calcul des racines du trinôme
- x_1=\dfrac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a}=\dfrac{3-\sqrt{29}}{2\times5}=\dfrac{3-\sqrt{29}}{10}
- x_2=\dfrac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a}=\dfrac{3+\sqrt{29}}{2\times5}=\dfrac{3+\sqrt{29}}{10}
L'équation admet donc deux solutions : \dfrac{3-\sqrt{29}}{10} et \dfrac{3+\sqrt{29}}{10}.
Quelle est la solution de l'équation suivante ?
-3x^2+5x-5=-3
Simplification de l'équation
-3x^2+5x-5=-3\Leftrightarrow -3x^2+5x-2=0
On reconnaît une équation du second degré, on peut déterminer les solutions de cette équation en calculant les éventuelles racines de ce trinôme.
Calcul du discriminant
\Delta=b^2-4ac=5^2-4\times\left(-3\right)\times\left(-2\right)=25-24=1
\Delta\gt0 donc le trinôme possède deux racines distinctes, notées x_1 et x_2.
Calcul des racines du trinôme
- x_1=\dfrac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a}=\dfrac{-5-\sqrt{1}}{2\times\left(-3\right)}=\dfrac{-5-1}{-6}=\dfrac{-6}{-6}=1
- x_2=\dfrac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a}=\dfrac{-5+\sqrt{1}}{2\times\left(-3\right)}=\dfrac{-5+1}{-6}=\dfrac{-4}{-6}=\dfrac{2}{3}
L'équation admet donc deux solutions : \dfrac{2}{3} et 1.
Quelle est la solution de l'équation suivante ?
2x^2-6x-1=-x^2-x-8
Simplification de l'équation
2x^2-6x-1=-x^2-x-8
\Leftrightarrow3x^2-5x+7=0
On reconnaît une équation du second degré, on peut déterminer les solutions de cette équation en calculant les éventuelles racines de ce trinôme.
Calcul du discriminant
\Delta=b^2-4ac=\left(-5\right)^2-4\times3\times7=25-84=-59
\Delta\lt0 donc le trinôme ne possède pas de racine.
L'équation n'admet pas de solution.
Quelle est la solution de l'équation suivante ?
2x^2+3x+3=x^2-x-1
Simplification de l'équation
2x^2+3x+3=x^2-x-1
\Leftrightarrow2x^2+3x+3-x^2+x+1=0
\Leftrightarrow x^2+4x+4=0
On reconnaît une équation du second degré, on peut déterminer les solutions de cette équation en calculant les éventuelles racines de ce trinôme.
Calcul du discriminant
\Delta=b^2-4ac=4^2-4\times1\times4=16-16=0
\Delta=0 donc le trinôme possède une seule racine x_0.
Calcul de la racine du trinôme
x_0=\dfrac{-b}{2a}=\dfrac{-4}{2\times1}=\dfrac{-4}{2}=-2
L'équation admet une solution -2.
Quelle est la solution de l'équation suivante ?
-3x^2+7x-1=x\left(x+2\right)
Simplification de l'équation
-3x^2+7x-1=x\left(x+2\right)
\Leftrightarrow-3x^2+7x-1-x\left(x+2\right)
\Leftrightarrow-3x^2+7x-1-x^2-2x=0
\Leftrightarrow-4x^2+5x-1=0
On reconnaît une équation du second degré, on peut déterminer les solutions de cette équation en calculant les éventuelles racines de ce trinôme.
Calcul du discriminant
\Delta=b^2-4ac=5^2-4\times\left(-4\right)\times\left(-1\right)=25-16=9
\Delta\gt0 donc le trinôme possède deux racines distinctes, notées x_1 et x_2.
Calcul des racines du trinôme
- x_1=\dfrac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a}=\dfrac{-5-\sqrt{9}}{2\times\left(-4\right)}=\dfrac{-5-3}{-8}=\dfrac{-8}{-8}=1
- x_2=\dfrac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a}=\dfrac{-5+\sqrt{9}}{2\times\left(-4\right)}=\dfrac{-5+3}{-8}=\dfrac{-2}{-8}=\dfrac{1}{4}
L'équation admet donc deux solutions : 1 et \dfrac{1}{4}.
Quelle est la solution de l'équation suivante ?
x^2+2x-10=-3x^2+2x+15
Simplification de l'équation
x^2+2x-10=-3x^2+2x+15
\Leftrightarrow x^2+2x-10+3x^2-2x-15=0
\Leftrightarrow 4x^2-25=0
On reconnaît une identité remarquable.
Factorisation
4x^2-25=0\Leftrightarrow \left(2x-5\right)\left(2x+5\right)=0
Résolution de l'équation produit
L'équation est équivalente à :
\left(2x-5\right)=0\text{ ou }\left(2x+5\right)=0
\Leftrightarrow x=\dfrac{5}{2}\text{ ou }x=-\dfrac{5}{2}
L'équation admet donc deux solutions : \dfrac{5}{2} et -\dfrac{5}{2}.