Dans le repère orthonormal \left( O;\overrightarrow{i};\overrightarrow{j} \right), on considère les fonctions f et g définies sur \mathbb{R} par :
- f\left(x\right)=3x^2+5x+1
- g\left(x\right)=2x^2+x+6
On appelle C_f la courbe représentative de f et C_g celle de g.
On cherche la position relative de la parabole C_f par rapport à C_g sur \mathbb{R}.
On pose : h(x) = f(x) - g(x) pour tout x réel.
Calculer les racines de h.
Simplifions l'expression de h(x) :
h(x) = f(x) -g(x) = 3x²+5x+1 -(2x²+x+6) = x²+4x-5 .
On étudie le signe de cette expression.
calcul du déterminant :
\Delta = 16-4\times (-5) = 36
Calcul des racines :
x_1=\dfrac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a} = \dfrac{-4-6}{2} =- 5
x_2=\dfrac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a}=\dfrac{-4+6}{2} =1
x_1 = -5
x_2 = 1
En déduire le signe de h sur \mathbb{R} .
On rappelle qu'un polynome du second degré ax²+bx+c est du signe de a à l'extérieur de ses racines et du signes inverse à l'intérieur.
Ici, h(x) = x²+4x-5, donc a>0.
Ainsi h est positive sur ] -\infty ; -5 ]\cup [1; +\infty[ et négative sur ]-5;1[.
h est positive sur ] -\infty ; -5 ]\cup [1; +\infty[ et négative sur ]-5;1[
En déduire les positions relatives des paraboles C_f et C_g.
On sait que :
h(x) = f(x)-g(x)
Donc h(x) \geq 0 \Leftrightarrow f(x) \geq g(x) .
Or d'après la question précédente h est positive sur ] -\infty ; -5 ]\cup [1; +\infty[ donc : f(x) \geq g(x) sur ] -\infty ; -5 ]\cup [1; +\infty[.
Finalement, C_f est au-dessus de C_g sur ] -\infty ; -5 ]\cup [1; +\infty[ et en dessous sur [-5;1].
C_f est au-dessus de C_g sur ] -\infty ; -5 ]\cup [1; +\infty[ et en dessous sur [-5;1].