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  4. Méthode : Donner les racines d'un trinôme du second degré

Donner les racines d'un trinôme du second degré Méthode

Sommaire

1Identifier a, b et c 2Calculer le discriminant \Delta 3Conclure selon la valeur de \Delta

Les racines réelles d'un trinôme P défini pour tout réel x par P\left(x\right)=ax^2+bx+c sont les réels x tels que P\left(x\right)=0

Un trinôme admet 0, 1 ou 2 racines que l'on sait déterminer.

Déterminer les racines réelles du trinôme : P\left(x\right) = 2x^2 -5x -3

Etape 1

Identifier a, b et c

Le trinôme est de la forme P\left(x\right)=ax^2+bx+c

a est le coefficient de x2, b est le coefficient de x et c est le terme constant.

Pour le trinôme P\left(x\right)=2x^2-5x-3, on a :

  • a = 2,
  • b = -5
  • c = -3
Etape 2

Calculer le discriminant \Delta

On a \Delta = b^2-4ac.

On calcule le discriminant \Delta :

\Delta = b^{2} - 4ac

\Delta= \left(-5\right)^2 -4\times 2 \times \left(-3\right)

\Delta= 25+24

\Delta=49

Etape 3

Conclure selon la valeur de \Delta

Cas 1

\Delta>0

Le trinôme admet deux racines distinctes, notées x_{1} et x_{2}

  • x_{1} = \dfrac{-b + \sqrt{\Delta}}{2a}
  • x_{2} = \dfrac{-b - \sqrt{\Delta}}{2a}
Cas 2

\Delta = 0

Le trinôme admet une racine unique, notée x_{0}, et appelée "racine double".
x_{0} = \dfrac{-b}{2a}

Cas 3

\Delta < 0

Le trinôme n'a pas de racine réelle.

\Delta >0 donc le trinôme admet deux racines distinctes :

\begin{aligned}x_{1} &= \dfrac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a} \\ &= \dfrac{-\left(-5\right)+\sqrt{49}}{4} \\ &= \dfrac{5+7}{4} \\ &= 3\end{aligned}

\begin{aligned}x_{2} &= \dfrac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a} \\ &= \dfrac{-\left(-5\right)-\sqrt{49}}{4} \\ &= \dfrac{5-7}{4} \\ &= \dfrac{-1}{2}\end{aligned}

Voir aussi
  • Cours : Équations, fonctions polynômes du second degré
  • Quiz : Équations, fonctions polynômes du second degré
  • Exercice : Déterminer si un réel est racine d'un trinôme
  • Exercice : Trouver une racine évidente pour un polynôme du second degré
  • Exercice : Donner les racines réelles d'un polynôme du second degré donné sous forme factorisée
  • Exercice : Connaître les caractéristiques du discriminant d'un polynôme du second degré
  • Exercice : Calculer le discriminant d'un polynôme du second degré donné sous forme développée
  • Exercice : Donner les racines d'un trinôme du second degré
  • Exercice : Connaître la relation entre les coefficients d'un polynôme du second degré sous forme développée et ses racines réelles
  • Exercice : Trouver les racines réelles d'un polynôme du second degré à l'aide de leur somme et de leur produit
  • Exercice : Identifier un polynôme du second degré sous forme développée
  • Exercice : Identifier un polynôme du second degré sous forme factorisée
  • Exercice : Identifier un polynôme du second degré sous forme canonique
  • Exercice : Identifier un polynôme du second degré
  • Exercice : Déterminer la forme d'un polynôme du second degré
  • Exercice : Donner la forme factorisée d'un polynôme du second degré à l'aide de ses racines réelles
  • Exercice : Déterminer la forme développée d'un polynôme du second degré à l'aide de ses racines réelles
  • Exercice : Factoriser un polynôme du second degré sous forme développée à l'aide de l'une de ses racines réelles
  • Exercice : Factoriser une fonction polynôme du second degré à l'aide d'une identité remarquable
  • Exercice : Factoriser une fonction polynôme de degré supérieur à 4 en produit de polynômes du second degré à l'aide d'une identité remarquable
  • Exercice : Factoriser une fonction polynôme du troisième degré à l'aide de l'une de ses racines réelles
  • Problème : Factoriser x^n-1 par x-1
  • Exercice : Déterminer la forme canonique d'un trinôme
  • Problème : Démontrer la formule de la forme canonique d'un polynôme du second degré
  • Exercice : Résoudre une équation du second degré sans coefficient constant
  • Exercice : Résoudre une équation du second degré avec un terme nul
  • Exercice : Résoudre une équation du second degré sans terme nul
  • Exercice : Résoudre une équation du second degré
  • Exercice : Factoriser un polynôme de degré 3
  • Problème : Résoudre une équation avec un quotient de polynôme du second degré
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