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  4. Méthode : Résoudre une inéquation du second degré

Résoudre une inéquation du second degré Méthode

Sommaire

1Passer tous les termes du même côté de l'inégalité 2Déterminer le signe du trinôme 3Résoudre l'inéquation

Une inéquation du second degré est une inéquation pouvant se ramener à une inéquation du type ax^2+bx+c\gt0, avec a\neq0.

Le symbole \gt peut être remplacé par \geqslant, \lt ou \leqslant.

Résoudre dans \mathbb{R} l'inéquation :

3x^2+x-1\lt x^2-4x+2

Etape 1

Passer tous les termes du même côté de l'inégalité

Si nécessaire, regrouper tous les termes dans le même membre de l'inéquation pour obtenir une inéquation du type ax^2+bx+c\gt0, avec a\neq0. (le symbole \gt pouvant également être \geqslant, \lt ou \leqslant )

Pour tout réel x :

3x^2+x-1\lt x^2-4x+2

\Leftrightarrow3x^2 +x-1-x^2+4x-2<0

\Leftrightarrow2x^2+5x-3<0

Etape 2

Déterminer le signe du trinôme

Il s'agit donc maintenant de déterminer le signe du trinôme P\left(x\right)=ax^2+bx+c obtenu précédemment. Pour cela, on calcule le discriminant \Delta, on recherche les racines s'il en existe, et on détermine le signe du trinôme :

  • Si \Delta >0 le trinôme admet deux racines distinctes x_1 et x_2
    Il est du signe de a à l'extérieur de l'intervalle délimité par les racines, et du signe de -a à l'intérieur. Il s'annule en x_1 et x_2.
  • Si \Delta =0 le trinôme admet une racine double x_0. Il est toujours du signe de a et s'annule en x_0.
  • Si \Delta <0 le trinôme n'a pas de racine réelle. Il est toujours du signe de a.

On résume ces résultats dans un tableau de signes.

On étudie le signe du trinôme P\left(x\right)=2x^2+5x-3 sur \mathbb{R}.

On calcule le discriminant :

\Delta=b^2-4ac=25-4\times2\times\left(-3\right)=25+24=49=7^2

\Delta>0, donc le trinôme est du signe de a (positif) à l'extérieur de l'intervalle déterminé par les racines, et du signe de -a (négatif) à l'intérieur.

On calcule les racines :

  • x_1=\dfrac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a}=\dfrac{-5-7}{4}=\dfrac{-12}{4}=-3
  • x_2=\dfrac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a}=\dfrac{-5+7}{4}=\dfrac{2}{4}=\dfrac{1}{2}

On obtient le tableau de signes du trinôme :

-
Etape 3

Résoudre l'inéquation

On détermine dans le tableau de signes, le ou les intervalles pour lesquels l'inégalité est vérifiée.
On conclut en présentant les solutions de l'inéquation.

Ici, l'inéquation est vérifiée lorsque 2x^2+5x-3<0.

-

L'ensemble des solutions de l'inéquation est donc :

S=\left] -3; \dfrac{1}{2}\right[

Lorsqu'on détermine les intervalles solutions de l'inéquation, on vérifie si l'inégalité est large ou stricte afin de savoir si les intervalles sont ouverts ou fermés.

Voir aussi
  • Cours : Équations, fonctions polynômes du second degré
  • Quiz : Équations, fonctions polynômes du second degré
  • Exercice : Déterminer si un réel est racine d'un trinôme
  • Exercice : Trouver une racine évidente pour un polynôme du second degré
  • Exercice : Donner les racines réelles d'un polynôme du second degré donné sous forme factorisée
  • Exercice : Connaître les caractéristiques du discriminant d'un polynôme du second degré
  • Exercice : Calculer le discriminant d'un polynôme du second degré donné sous forme développée
  • Exercice : Donner les racines d'un trinôme du second degré
  • Exercice : Connaître la relation entre les coefficients d'un polynôme du second degré sous forme développée et ses racines réelles
  • Exercice : Trouver les racines réelles d'un polynôme du second degré à l'aide de leur somme et de leur produit
  • Exercice : Identifier un polynôme du second degré sous forme développée
  • Exercice : Identifier un polynôme du second degré sous forme factorisée
  • Exercice : Identifier un polynôme du second degré sous forme canonique
  • Exercice : Identifier un polynôme du second degré
  • Exercice : Déterminer la forme d'un polynôme du second degré
  • Exercice : Donner la forme factorisée d'un polynôme du second degré à l'aide de ses racines réelles
  • Exercice : Déterminer la forme développée d'un polynôme du second degré à l'aide de ses racines réelles
  • Exercice : Factoriser un polynôme du second degré sous forme développée à l'aide de l'une de ses racines réelles
  • Exercice : Factoriser une fonction polynôme du second degré à l'aide d'une identité remarquable
  • Exercice : Factoriser une fonction polynôme de degré supérieur à 4 en produit de polynômes du second degré à l'aide d'une identité remarquable
  • Exercice : Factoriser une fonction polynôme du troisième degré à l'aide de l'une de ses racines réelles
  • Problème : Factoriser x^n-1 par x-1
  • Exercice : Déterminer la forme canonique d'un trinôme
  • Problème : Démontrer la formule de la forme canonique d'un polynôme du second degré
  • Exercice : Résoudre une équation du second degré sans coefficient constant
  • Exercice : Résoudre une équation du second degré avec un terme nul
  • Exercice : Résoudre une équation du second degré sans terme nul
  • Exercice : Résoudre une équation du second degré
  • Exercice : Factoriser un polynôme de degré 3
  • Problème : Résoudre une équation avec un quotient de polynôme du second degré
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  • Exercice : Repérer un changement de variable transformant une équation de degré supérieur à 4 en équation du second degré
  • Exercice : Effectuer un changement de variable pour retrouver une équation du second degré
  • Exercice : Résoudre une équation irrationnelle
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  • Problème : Utiliser le second degré pour résoudre un problème concret
  • Exercice : Traduire un problème géométrique sous forme d'une équation du second degré
  • Problème : Étudier un problème géométrique par une équation du second degré
  • Problème : Démontrer la formule générale de la résolution d'une équation du second degré
  • Exercice : Compléter les signes dans le tableau de signe d'un polynôme du second degré sous forme développée
  • Exercice : Étudier le signe d'un polynôme du second degré sous forme factorisée
  • Exercice : Donner le tableau de signes d'un trinôme du second degré
  • Exercice : Étudier le signe d'un produit d'une fonction polynôme du second degré et d'une fonction affine
  • Exercice : Étudier le signe d'un produit de fonctions polynôme du second degré
  • Exercice : Résoudre une inéquation du second degré à l'aide du tableau de signes de la fonction polynôme associée
  • Exercice : Résoudre une inéquation du second degré sans coefficient constant
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