Soit P le polynôme défini sur \mathbb{R} par P\left(x\right)=3x^3-8x^2-5x+6
Calculer P(-1).
P\left(-1\right)=3\times\left(-1\right)^3-8\times\left(-1\right)^2-5\times\left(-1\right)+6=-3-8+5+6=0
P\left(-1\right)=0 donc -1 est une racine du polynôme P.
Déterminer les réels a, b et c tels que pour tout réel x : P\left(x\right)=\left(x+1\right)\left(ax^2+bx+c\right).
Deux polynômes sont égaux si et seulement si les coefficients de leurs termes de même degré sont égaux.
On développe donc l'expression \left(x+1\right)\left(ax^2+bx+c\right) et on regroupe ses termes par degré, afin d'obtenir une forme polynomiale :
\left(x+1\right)\left(ax^2+bx+c\right)=ax^3+bx^2+cx+ax^2+bx+c=ax^3+\left(b+a\right)x^2+\left(c+b\right)x+c
On en déduit que le polynôme P est égal à cette expression si et seulement si les réels a, b et c vérifient :
\begin{cases} a=3 \cr \cr b+a=-8 \cr \cr c+b=-5 \cr \cr c=6 \end{cases}\Leftrightarrow\begin{cases} a=3 \cr \cr b+3=-8 \cr \cr 6+b=-5 \cr \cr c=6 \end{cases}\Leftrightarrow\begin{cases} a=3 \cr \cr b=-11 \cr \cr c=6 \end{cases}
Pour tout réel x, on a : a=3, \ b=-11\ \text{et} \ c=6.
En déduire les éventuelles solutions de l'équation : 3x^3-8x^2-5x+6=0.
Cela est équivalent à résoudre :
\left(x+1\right)\left(3x^2-11x+6\right)=0
\left(x+1\right)\left(3x^2-11x+6\right)=0
\Leftrightarrow x+1=0 ou 3x^2-11x+6=0
Résolution de x + 1 = 0
x+1=0\Leftrightarrow x=-1
Résolution de 3x^2-11x+6=0
Calcul du discriminant :
\Delta=b^2-4ac=\left(-11\right)^2-4\times 3\times 6=121-72=49
\Delta\gt0 donc l'équation admet deux racines distinctes x_1 et x_2
- x_1=\dfrac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a}=\dfrac{11-\sqrt{49}}{2\times3}=\dfrac{11-7}{6}=\dfrac{4}{6}=\dfrac{2}{3}
- x_2=\dfrac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a}=\dfrac{11+\sqrt{49}}{2\times3}=\dfrac{11+7}{6}=\dfrac{18}{6}=3
S=\left\{ -1; \dfrac{2}{3}; 3\right\}