Quelle est la solution de l'inéquation suivante ?
\dfrac{x^2+4x+4}{x^2-9}\lt0
Pour résoudre cette inéquation, on étudie le signe du quotient \dfrac{x^2+4x+4}{x^2-9}.
On étudie donc les signes respectifs du numérateur et du dénominateur de ce quotient.
Etude du signe de x^2+4x+4
On remarque que : x^2+4x+4=\left(x+2\right)^2
Le numérateur du quotient étant un carré, il est donc positif pour tout x réel, et il s'annule en -2.
Etude du signe de x^2-9
On remarque que x^2-9=\left(x+3\right)\left(x-3\right)
Le trinôme x^2-9 admet donc deux racines -3 et 3.
Le coefficient du terme de degré 2 du trinôme étant positif, on en déduit que le trinôme est :
- Positif sur \left]-\infty;-3 \right[\cup\left]3;+\infty\right[
- Négatif sur \left]-3;3 \right[.
On note de plus que -3 et 3 annulent le dénominateur, ce sont donc des valeurs interdites.
Tableau de signes
On obtient finalement le tableau de signes suivant :
S=\left] -3;-2 \right[\cup\left] -2;3 \right[
Quelle est la solution de l'inéquation suivante ?
\dfrac{-x^2+5x-10}{4x^2-12x+9}\gt0
Pour résoudre cette inéquation, on étudie le signe du quotient \dfrac{-x^2+5x-10}{4x^2-12x+9}.
On étudie donc les signes respectifs du numérateur et du dénominateur de ce quotient.
Etude du signe de -x^2+5x-10
Pour déterminer le signe de ce trinôme du second degré, on calcule son discriminant :
\Delta=b^2-4ac=5^2-4\times\left(-10\right)\times\left(-1\right)=25-40=-15
\Delta\lt0 donc le trinôme est du signe de a (négatif) pour tout x\in\mathbb{R}.
Etude du signe de 4x^2-12x+9
Pour déterminer le signe de ce trinôme du second degré, on calcule son discriminant :
\Delta=b^2-4ac=\left(-12\right)^2-4\times4\times9=144-144=0
\Delta=0 donc le trinôme est du signe de a (positif) pour tout x\in\mathbb{R} et s'annule en sa racine x_0.
- x_0=\dfrac{-b}{2a}=\dfrac{12}{2\times4}=\dfrac{3}{2}
On note de plus que \dfrac{3}{2} annule le dénominateur. C'est donc une valeur interdite.
Tableau de signes
On obtient finalement le tableau de signes suivant :
S=\varnothing
Quelle est la solution de l'inéquation suivante ?
\dfrac{-2x^2+x-5}{-3x+7}\lt0
Pour résoudre cette inéquation, on étudie le signe du quotient \dfrac{-2x^2+x-5}{-3x+7}.
On étudie donc les signes respectifs du numérateur et du dénominateur de ce quotient.
Etude du signe de -2x^2+x-5
Pour déterminer le signe de ce trinôme du second degré, on calcule son discriminant :
\Delta=b^2-4ac=1^2-4\times\left(-2\right)\times\left(-5\right)=1-40=-39
\Delta\lt0 donc le trinôme est du signe de a (négatif) pour tout x\in\mathbb{R}.
Etude du signe de -3x+7
-3x+7>0\Leftrightarrow x\lt\dfrac{7}{3}
L'expression -3x+7 est donc :
- Positive sur \left] -\infty;\dfrac{7}{3} \right[
- Négative sur \left] \dfrac{7}{3};+\infty \right[
On note de plus que \dfrac{7}{3} annule le dénominateur. C'est donc une valeur interdite.
Tableau de signes
On obtient finalement le tableau de signes suivant :
S=\left] -\infty;\dfrac{7}{3} \right[
Quelle est la solution de l'inéquation suivante ?
\dfrac{x+4}{-x+3}\geqslant\dfrac{2+3x}{-2x+5}
Simplification de l'expression
Pour résoudre cette inéquation, il faut au préalable se ramener à l'étude du signe d'un quotient. On regroupe donc tous les termes d'un côté et on réduit l'expression au même dénominateur :
\dfrac{x+4}{-x+3}\geqslant\dfrac{2+3x}{-2x+5}
\Leftrightarrow\dfrac{x+4}{-x+3}-\dfrac{2+3x}{-2x+5}\geqslant0
\Leftrightarrow\dfrac{\left(x+4\right)\left(-2x+5\right)}{\left(-x+3\right)\left(-2x+5\right)}-\dfrac{\left(2+3x\right)\left(-x+3\right)}{\left(-2x+5\right)\left(-x+3\right)}\geqslant0
\Leftrightarrow\dfrac{-2x^2+5x-8x+20}{\left(-x+3\right)\left(-2x+5\right)}-\dfrac{-2x+6-3x^2+9x}{\left(-2x+5\right)\left(-x+3\right)}\geqslant0
\Leftrightarrow\dfrac{-2x^2+5x-8x+20+2x-6+3x^2-9x}{\left(-x+3\right)\left(-2x+5\right)}\geqslant0
\Leftrightarrow\dfrac{x^2-10x+14}{\left(-x+3\right)\left(-2x+5\right)}\geqslant0
Etude du signe de x^2-10x+14
Pour déterminer le signe de ce trinôme du second degré, on calcule son discriminant :
\Delta=b^2-4ac=\left(-10\right)^2-4\times1\times\left(14\right)=100-56=44
\Delta\gt0 donc le trinôme est du signe de a (positif) à l'extérieur des racines, et du signe de -a (négatif), à l'intérieur des racines.
- x_1=\dfrac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a}=\dfrac{10-\sqrt{44}}{2\times1}=\dfrac{10-2\sqrt{11}}{2}=5-\sqrt{11}
- x_2=\dfrac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a}=\dfrac{10+\sqrt{44}}{2\times1}=\dfrac{10+2\sqrt{11}}{2}=5+\sqrt{11}
Ainsi, le trinôme est :
- Positif sur \left] -\infty;5-\sqrt{11} \right]\cup\left[ 5\sqrt{11};+\infty \right[
- Négatif sur \left[ 5-\sqrt{11} ;5+\sqrt{11} \right]
Etude du signe de \left(-x+3\right)\left(-2x+5\right)
Il s'agit d'un trinôme du second degré déjà factorisé. On en déduit donc qu'il admet deux racines : 3 et \dfrac{5}{2}.
Le coefficient du terme de degré 2 du trinôme étant positif (après développement il est égal à 2x^2 ), on en déduit que le trinôme est :
- Positif sur \left] -\infty;\dfrac{5}{2} \right[\cup\left] 3;+\infty\right[
- Négatif sur \left] \dfrac{5}{2};3 \right[
On note de plus que \dfrac{5}{2} et 3 annulent le dénominateur. Ce sont donc des valeurs interdites.
Tableau de signes
On obtient finalement le tableau de signes suivant :
S=\left] -\infty;5-\sqrt{11} \right]\cup\left] \dfrac{5}{2};3 \right[\cup\left[ 5+\sqrt{11};+\infty \right[
Quelle est la solution de l'inéquation suivante ?
\dfrac{-3x^2+x+4}{-7x+2}\leqslant0
Pour résoudre cette inéquation, on étudie le signe du quotient \dfrac{-3x^2+x+4}{-7x+2}.
On étudie donc les signes respectifs du numérateur et du dénominateur de ce quotient.
Etude du signe de -3x^2+x+4
Pour déterminer le signe de ce trinôme du second degré, on calcule son discriminant :
\Delta=b^2-4ac=1^2-4\times\left(-3\right)\times4=1+48=49
\Delta\gt0 donc le trinôme est du signe de a (négatif) à l'extérieur des racines, et du signe de -a (positif), à l'intérieur des racines.
- x_1=\dfrac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a}=\dfrac{-1-\sqrt{49}}{2\times\left(-3\right)}=\dfrac{-1-7}{-6}=\dfrac{-8}{-6}=\dfrac{4}{3}
- x_2=\dfrac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a}=\dfrac{-1+\sqrt{49}}{2\times\left(-3\right)}=\dfrac{-1+7}{-6}=\dfrac{6}{-6}=-1
Ainsi, le trinôme est :
- Négatif sur \left] -\infty;-1 \right[\cup\left] \dfrac{4}{3};+\infty \right[
- Positif sur \left] -1;\dfrac{4}{3}\right[
Etude du signe de -7x+2
-7x+2>0\Leftrightarrow x\lt\dfrac{2}{7}
L'expression -7x+2 est donc :
- Positive sur \left] -\infty;\dfrac{2}{7} \right[
- Négative sur \left] \dfrac{2}{7};+\infty \right[
On note de plus que \dfrac{2}{7} annule le dénominateur. C'est donc une valeur interdite.
Tableau de signes
On obtient finalement le tableau de signes suivant :
S=\left] -\infty;-1 \right]\cup\left] \dfrac{2}{7};\dfrac{4}{3} \right]
Quelle est la solution de l'inéquation suivante ?
\dfrac{5x+2}{x^2-5x+6}\lt0
Pour résoudre cette inéquation, on étudie le signe du quotient \dfrac{5x+2}{x^2-5x+6}.
On étudie donc les signes respectifs du numérateur et du dénominateur de ce quotient.
Etude du signe de x^2-5x+6
Pour déterminer le signe de ce trinôme du second degré, on calcule son discriminant :
\Delta=b^2-4ac=\left(-5\right)^2-4\times1\times6=25-24=1
\Delta\gt0 donc le trinôme est du signe de a (positif) à l'extérieur des racines, et du signe de -a (négatif), à l'intérieur des racines.
- x_1=\dfrac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a}=\dfrac{5-\sqrt{1}}{2\times1}=\dfrac{5-1}{2}=\dfrac{4}{2}=2
- x_2=\dfrac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a}=\dfrac{5+\sqrt{1}}{2\times1}=\dfrac{5+1}{2}=\dfrac{6}{2}=3
Ainsi, le trinôme est :
- Positif sur \left] -\infty;2 \right[\cup\left] 3;+\infty \right[
- Négatif sur \left] 2;3\right[
On note de plus que 2 et 3 annulent le dénominateur. Ce sont donc des valeurs interdites.
Etude du signe de 5x+2
5x+2>0\Leftrightarrow x>-\dfrac{2}{5}
L'expression 5x+2 est donc :
- Négative sur \left] -\infty;-\dfrac{2}{5} \right[
- Positive sur \left] -\dfrac{2}{5};+\infty \right[
Tableau de signes
On obtient finalement le tableau de signes suivant :
S=\left] -\infty;-\dfrac{2}{5} \right[\cup\left]2;3 \right[
Quelle est la solution de l'inéquation suivante ?
\dfrac{x^2-4x-5}{x-2}\geqslant0
Pour résoudre cette inéquation, on étudie le signe du quotient \dfrac{x^2-4x-5}{x-2}.
On étudie donc les signes respectifs du numérateur et du dénominateur de ce quotient.
Etude du signe de x^2-4x-5
Pour déterminer le signe de ce trinôme du second degré, on calcule son discriminant :
\Delta=b^2-4ac=\left(-4\right)^2-4\times1\times\left(-5\right)=16+20=36
\Delta\gt0 donc le trinôme est du signe de a (positif) à l'extérieur des racines, et du signe de -a (négatif), à l'intérieur des racines.
- x_1=\dfrac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a}=\dfrac{4-\sqrt{36}}{2\times1}=\dfrac{4-6}{2}=\dfrac{-2}{2}=-1
- x_2=\dfrac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a}=\dfrac{4+\sqrt{36}}{2\times1}=\dfrac{4+6}{2}=\dfrac{10}{2}=5
Ainsi, le trinôme est :
- Positif sur \left] -\infty;-1 \right[\cup\left] 5;+\infty \right[
- Négatif sur \left] -1;5\right[
Etude du signe de x-2
x-2>0\Leftrightarrow x>2
L'expression x-2 est donc :
- Négative sur \left] -\infty;-2 \right[
- Positive sur \left] -2;+\infty \right[
On note de plus que 2 annule le dénominateur. C'est donc une valeur interdite.
Tableau de signes
On obtient finalement le tableau de signes suivant :
S=\left[ -1;2 \right[\cup\left[ 5;+\infty \right[